Riemann 度量

Riemann 度量是一种在流形上定义距离的方法. 它通过定义切向量的长度 (“无穷近” 的点之间的距离), 来定义流形上曲线的长度, 进而定义两个点的距离.

事实上, Riemann 度量不仅能给出距离, 还能给出曲率等几何量, 以及协变导数、Laplace 算子等几何构造. 研究这些内容的学科称为 Riemann 几何.

在广义相对论中, Riemann 度量 (确切地说, Lorentz 流形的伪 Riemann 度量) 对应于引力. 这也是 Riemann 度量的通用记号 $g$ 的来源 (英文 gravity).

1定义

定义 1.1 (Riemann 度量). 设 $X$ 是光滑流形. $X$ 上的一个 Riemann 度量是指 $X$ 上的一个对称、正定的 $(2,0)$-张量.

换言之, 对每个切空间 $T_{x}X$, 一个 Riemann 度量给出了切空间上的一个内积$$g(-,-):T_{x}X\otimes T_{x}X\to \mathbb{R},$$并且这个内积光滑地取决于 $x$.

带有 Riemann 度量的光滑流形称为 Riemann 流形.

通过 Riemann 度量, 可以定义流形上曲线的长度.

定义 1.2 (曲线的长度). 设 $X$ 是 Riemann 流形 (定义 1.1), 设 $\gamma :[a,b]\to X$ 是一个分段光滑映射, 即一条曲线. 则 $\gamma$ 的长度定义为$$\ell (\gamma )={\int }_a^b|{\gamma }^{\prime }(t){|}_{g}dt,$$其中 $|{\gamma }^{\prime }(t){|}_g$ 定义为 $g({\gamma }^{\prime }(t),{\gamma }^{\prime }(t){)}^{1/2}$.

这样, 我们能定义流形上两个点的距离.

定义 1.3 (距离). 设 $X$ 是连通的 Riemann 流形 (定义 1.1). 两个点 $x,y\in X$ 的距离定义为$$d(x,y)=\underset{\gamma }{\inf }\ell (\gamma ),$$其中 $\gamma$ 取遍所有连接 $x$ 与 $y$ 的分段光滑曲线. 这个距离赋予 $X$ 一个度量空间的结构.

2例子

•	Euclid 度量
•	Fubini–Study 度量

3相关概念

•	Riemann 流形
•	Kähler 流形
•	伪 Riemann 度量

术语翻译

Riemann 度量 • 英文 Riemannian metric