度量空间

度量空间是一种拓扑空间, 其中点的位置关系由它们之间的距离所描述.

1定义

定义 1.1 (度量). 一个集合 $X$ 上的度量是一个映射 $d:X\times X\to \mathbb{R}$, 满足以下性质:

1.	对任何 $x,y\in X$, 有 $d(x,y)=d(y,x)$;
2.	对任何 $x,y\in X$, 有 $d(x,y)\ge 0$, 且 $d(x,y)=0$ 的必要且充分条件是 $x=y$;
3.	对任何 $x,y,z\in X$, 成立 “三角不等式”: $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$.

定义 1.2 (度量空间). 一个度量空间是一个偶对 $(X,d)$, 其中 $X$ 是一个集合, $d$ 是 $X$ 上的一个度量.

2度量诱导的拓扑

令 $(X,d)$ 为一个度量空间, $x\in X$, $\epsilon >0$ 为实数. 则 $X$ 中以 $x$ 为心的 $\epsilon$-开球是指$$B(x;\epsilon )=\{y\in X:d(y,x)<\epsilon \}.$$我们称 $U\subset X$ 为度量空间 $X$ 的一个开集, 如果对任意 $x\in U$, 存在 $\epsilon >0$, 使得 $B(x;\epsilon )\subset U$.

上面的开集的定义的确给出了一个集合 $X$ 上的拓扑. 在这个拓扑中, 开球 $\{B(x;\epsilon ){\}}_{x\in X,\epsilon \in {\mathbb{R}}_{+}}$ 构成了一个拓扑基.

3相关概念

•	拓扑空间
•	度量化

术语翻译

度量空间 • 英文 metric space • 德文 Metrischer Raum • 法文 espace métrique • 拉丁文 spatium metricum • 古希腊文 μετρικὸς χῶρος

度量 • 英文 metric • 德文 Metrik (f) • 法文 distance (f) • 拉丁文 metrica (f) • 古希腊文 μετρική (f)