双线性型

向量空间 $V$ 上的双线性型是指映射 $B:V\times V\to k$, 关于两个变量分别线性 (定义 1.1). 等价地说, 双线性型也就是 $(2,0)$-张量 (注 1.2).

有些文献会把一般的双线性映射 $V\times W\to k$ 也称为双线性型, 但本百科把它称为配对, 而把本条目留给两个线性空间相同的情形.

双线性型的例子包括内积与辛形式等. 双线性型能建立向量空间到它的对偶空间的映射 (定义 1.4). 如果此双线性型是非退化的, 还可以把它们等同起来 (定义 1.5).

1定义

定义 1.1 (双线性型). 域 $k$ 上的向量空间 $V$ 上的双线性型是指一个映射 $B:V\times V\to k$, 使得对任意 $u,u_1,u_2,v,v_1,v_2\in V$ 和 $a,b\in k$, 有$$\begin{array}{c}B(a{u}_1+b{u}_2,v)=aB(u_1,v)+bB(u_2,v)\\ B(u,a{v}_1+b{v}_2)=aB(u,v_1)+bB(u,v_2).\end{array}$$

注 1.2. 等价地说, $V$ 上的双线性型就是线性映射 $B:V\otimes V\to k$ 或者说元素 $B\in (V\otimes V{)}^{\ast }$. 换言之, 有限维向量空间上的双线性型, 也就是其上的 $(2,0)$-张量.

注 1.3. 双线性型也可以在一般的环上定义, 即交换环 $R$ 的模 $M$ 上的双线性型是满足双线性的映射 $M\times M\to R$, 也就是一个 $R$-模同态 $M{\otimes }_{R}M\to R$.

由对偶的性质, 双线性型对应了向量空间到它的对偶空间的映射.

定义 1.4 (对偶). 每个双线性型 $B$ 诱导两个映射 $V\to V^{\ast }$, 分别为$$\begin{array}{c}{B}_l:u\mapsto (v\mapsto B(u,v))\\ B_r:u\mapsto (v\mapsto B(v,u)).\end{array}$$

定义 1.5 (非退化). 双线性型被称为非退化的, 如果上述二映射是单射, 否则它被称为退化的.

正如对 Euclid 空间可以定义它的子空间的正交补, 对一般的双线性型也可以定义类似概念.

定义 1.6 (正交补). 对双线性型 $B$, 向量空间 $V$ 的子空间 $W$ 的左正交补 ${}^{\perp }W$ 定义为$$\{u\in V\mid B_l(u){|}_W=0\}=\{u\in V\mid B(u,v)=0,\forall v\in V\}.$$右正交补 $W^{\perp }$ 为$$\{u\in V\mid B_r(u){|}_W=0\}=\{u\in V\mid B(v,u)=0,\forall v\in V\}.$$

对可能退化的双线性型, 可以定义它的退化程度.

定义 1.7 (根). 双线性型 $B$ 的左根, 或称左核, 为全空间 $V$ 的左正交补, 即$$\{u\in V\mid B(u,v)=0,\forall v\in V\},$$右根, 或称右核, 为全空间 $V$ 的右正交补, 即$$\{u\in V\mid B(u,v)=0,\forall v\in V\}.$$对有限维向量空间, 左根与右根的维数相同, 称为此双线性型的零度.

有时会为双线性型加入对称或反对称的性质.

定义 1.8 (对称、交错). 称域 $k$ 上的双线性型 $B$ 为对称双线性型, 指其满足$$B(u,v)=B(v,u),\forall u,v\in V;$$称其为交错双线性型, 指其满足$$B(u,u)=0,\forall u\in V.$$

注 1.9. 由定义, 双线性型的对称与交错和相应张量的对称与交错是相同的.

定义 1.10 (正交补). 对对称双线性型和反对称双线性型, 子空间的左、右正交补相同, 统称为正交补, 它的左、右根也相同, 统称为根或核.

2例子

•	零映射是双线性型.
•	Euclid 空间上的内积是对称、非退化双线性型.

3性质

一般性质

由一般的张量理论, 双线性型可以用分量形式表示. 为简便起见, 我们假设向量空间是有限维的.

命题 3.1 (分量表示). 对向量空间 $V$ 双线性型 $B(u,v)$, 固定 $v$ 的一组基 $\{e_1,\dots ,e_n\}$, 定义$$B_{ij}=B(e_i,e_j).$$则对 $V$ 中向量 $u=\sum u^i{e}_i$, $v=\sum v^i{e}_i$, 有$$B(u,v)=\sum _{i,j}{B}_{ij}{u}^i{v}^j.$$

命题 3.2 (矩阵表示). 可以将上述所有分量组合起来写成矩阵的形式, 即令矩阵$$B=(B_{ij}{)}_{1\le i,j\le n}.$$则对向量 $u=(u^1,\dots ,u^n{)}^t$, $v=(v^1,\dots ,v^n{)}^t$, 有$$B(u,v)=u^{t}Bv.$$此时, 双线性型的 $B$ (左、右) 核是 $0$ 当且仅当矩阵 $B$ 为 (左、右) 可逆, 双线性型的零度等于向量空间的维数减矩阵的秩.

如一般的张量一般, 分量表示在线性空间基的变换下等变.

命题 3.3 (等变性). $V$ 是向量空间, $B$ 是其上双线性型. 对 $V$ 的两组基 $\{e_1,\dots ,e_n\}$, $\{e_1^{\prime },\dots e_n^{\prime }\}$, 设它们之间的变换矩阵为 $U$, 即 $e_i^{\prime }=\sum U_j^i{e}_j$, 记 $B_{ij}$, $B_{ij}^{\prime }$ 为 $B$ 在两组基下的分量形式, 则有$$B_{ij}^{\prime }=\sum _{k,l}{B}_{kl}{U}_i^k{U}_j^l.$$如使用矩阵的形式, 设二次型相应的矩阵形式为 $B,B^{\prime }$, 则$$B^{\prime }=U^{t}BU.$$

双线性型的对称和交错也由矩阵体现:

命题 3.4. 对 $V$ 的任意一组基,

•	双线性型 $B$ 是对称的, 当且仅当对任意 $i,j$ 都有 $B_{ij}=B_{ji}$, 即相应的矩阵是对称阵.
•	双线性型 $B$ 是反对称的, 当且仅当对任意 $i,j$ 都有 $B_{ij}=-B_{ji}$, $B_{ii}=0$. 即相应的矩阵是交错阵.

域的特征不是 $2$ 时, 双线性型可分解为对称双线性型和交错双线性型的和:

命题 3.5. 设 $\mathrm{char}k\ne 2$, $V$ 是 $k$-线性空间, $B$ 是 $V$ 上双线性型. 则存在唯一对称双线性型 $B^1$ 和交错双线性型 $B^2$, 使得$$B=B^1+B^2.$$事实上, $B_1$ 与 $B_2$ 定义为: $$\begin{array}{c}{B}^1(u,v)=\frac{1}{2}(B(u,v)+B(v,u))\\ B^2(u,v)=\frac{1}{2}(B(u,v)-B(v,u)).\end{array}$$

还有一个奇妙性质: 对一般双线性型, 只要每个子空间的左正交补和右正交补都相同, 那么它都是对称或交错.

命题 3.6. $k$ 是域, $V$ 是 $k$-线性空间, $B$ 是 $V$ 上双线性型. 如对任意 $u,v\in V$ 均有$$B(u,v)=0⟺B(v,u)=0,$$则 $B$ 为对称或交错.

证明. 设 $B$ 不为交错, 即存在 $u\in V$ 使得 $B(u,u)\ne 0$, 来证明 $B$ 对称, 即对任意 $v,w\in V$ 都有 $B(v,w)=B(w,v)$. 我们分如下几步.

•	先对任意 $v\in V$ 证明 $B(u,v)=B(v,u)$. $B(u,v)=0$ 时这是条件. 否则由 $B(u,u)\ne 0$, 把 $v$ 减去若干倍的 $u$ 即可化归到 $B(u,v)=0$ 情形.
•	再对任意 $v,w\in V$ 证明 $B(v,w)=B(w,v)$. 如 $B(u,v)\ne 0$, 由于已知 $B(u,v)=B(v,u)$, 可把 $w$ 减去若干倍的 $u$, 化归到 $B(v,w)=0$ 情形, 此即条件. 如 $B(u,v)=0$, 由于已知 $B(u,w)=B(w,u)$, 可把 $v$ 加上一个 $u$, 即化归到上一句话.

这样就完成了证明.

$\square$

对称双线性型

主条目: 对称双线性型

以下列举了一些对称双线性型的性质. 详尽的性质参见主条目对称双线性型. 这一小节中我们假设 $k$ 的特征不是 $2$.

可以把对称双线性型的矩阵表示写成较好的形式, 即要求它是对角阵.

命题 3.7. 对有限维向量空间 $V$ 上的对称双线性型, 存在一组基 $\{e_1,\cdots ,e_n\}$ 使得它的矩阵表示 $A$ 是对角阵 $\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$. 这些 $\lambda$ 中 $0$ 的个数等于此双线性型的零度.

如果基域 $k$ 具有好的性质, 双线性型能表现为更好的形式:

命题 3.8.

•	如果 $k$ 是代数闭域 (例如复数 $\mathbb{C}$), 任意对称双线性型有矩阵表示 $\mathrm{diag}(1,\dots ,1,0,\dots ,0)$, 此时 $1,0$ 的数目被此双线性型唯一决定.
•	如果 $k$ 是实闭域 (例如实数 $\mathbb{R}$), 任意对称双线性型有矩阵表示 $\mathrm{diag}(1,\dots ,1,-1,\dots ,-1,0,\dots ,0)$, 此时 $1,-1,0$ 的数目被此双线性型唯一决定.

交错双线性型

主条目: 交错双线性型

以下列举了一些交错双线性型的基本性质, 详尽性质参见主条目交错双线性型.

交错双线性型也可以写成较好的形式, 它的矩阵形式可以写成一些 “块” 的拼合:

命题 3.9. 对有限维向量空间 $V$ 上的交错双线性型, 存在一组基 $\{e_1,\cdots ,e_n\}$ 使得它的矩阵表示形如$$\left(\begin{array}{ccccc}J& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& J& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & J& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right)$$其中 $0$ 均表示零矩阵, $J$ 是 $2\times 2$ 矩阵$$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right).$$右下角的零矩阵的阶数即为此双线性型的零度.

4相关概念

•	内积
•	对称双线性型
•	交错双线性型
•	二次型
•	半双线性型
•	配对

术语翻译

双线性型 • 英文 bilinear form • 德文 Bilinearform • 法文 forme bilinéaire • 拉丁文 forma bilinearis • 古希腊文 διγραμμικὴ μορφή

根 • 英文 radical • 法文 radical (f) • 拉丁文 radical (n) • 古希腊文 ῥιζικόν (n)

零度 • 英文 nullity • 法文 nullité (f) • 拉丁文 nullitas (f) • 古希腊文 μηδενία (f)