对称双线性型

约定. 在本文中,

• 所有环都是交换环.

对称双线性型是满足对任意向量 $u,v$ 都有 $B(u,v)=B(v,u)$ 的双线性型, 也就是对称 $(2,0)$-张量.

1定义

定义 1.1 (对称双线性型). 设 $k$ 是域, $V$ 是 $k$-线性空间. $V$ 上对称双线性型指的是双线性型 $B:V\times V\to k$, 满足对任意 $u,v\in V$ 都有 $B(u,v)=B(v,u)$.

定义 1.2 (正交). 设 $B$ 是 $V$ 上对称双线性型. 称 $u,v\in V$ 关于 $B$ 正交, 指的是 $B(u,v)=0$. 对子空间 $W\subseteq V$, $W$ 关于 $B$ 的正交补, 记作 $W^{\perp }$, 指子空间$$\{v\in V\mid \forall u\in W,B(u,v)=0\}.$$$(V,B)$ 的根, 又称核, 指的是 $V^{\perp }$, 即子空间$$\{v\in V\mid \forall u\in V,B(u,v)=0\},$$其维数称为 $B$ 的零度. 称 $B$ 为非退化, 指其根为 $0$. 这是一般的双线性型都有的概念, 不过在此由于对称, 左右正交补相同.

定义 1.3 (迷向). 设 $V$ 是线性空间, 带双线性型 $B$. 称 $v\in V$ 为迷向, 指的是 $B(v,v)=0$. 称子空间 $W\subseteq V$ 为迷向, 指的是对任意 $v,w\in W$ 都有 $B(v,w)=0$, 即 $W\subseteq W^{\perp }$. 称 $B$ 为非迷向, 指其没有非零迷向向量.

定义 1.4 (正交直和). 设 $(V,B)$ 与 $(V^{\prime },B^{\prime })$ 是两个带对称双线性型的 $k$-线性空间. 它们的正交直和, 记作 $V\oplus V^{\prime }$ 或 $V⦹V^{\prime }$, 指的是线性空间 $V\oplus V$, 附带对称双线性型 $B\oplus B^{\prime }$, 定义为$$(B\oplus B^{\prime })(u,v)=\{\begin{array}{ll}B(u,v),& u,v\in V;\\ B^{\prime }(u,v),& u,v\in V^{\prime };\\ 0,& u\in V,v\in V^{\prime }.\end{array}$$

定义 1.5 (内积). 如 $V$ 是有限维线性空间, 对称双线性型 $B$ 为非退化, 则称 $B$ 为 $V$ 上内积或标量积. 内积有时也用符号 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 表示.

2例子

例 2.1. 零映射总是对称双线性型. 本条目中, 我们把 $n$ 维线性空间附带零型记作 $0_n$.

例 2.2. 设 $V$ 是 $n$ 维 $k$-线性空间, $e_1,\dots ,e_n$ 是其一组基, $a_1,\dots ,a_n\in k$. 定义$$B(e_i,e_j)=\{\begin{array}{ll}{a}_i,& i=j;\\ 0,& i\ne j;\end{array}$$则这决定 $V$ 上的对称双线性型 $B$. 下面 (定理 3.3) 将会看到, 只要 $\mathrm{char}k\ne 2$, $V$ 上任意双线性型, 在适当取基之后都是这样. 如 $a_1=\dots =a_n=1$, 则称 $B$ 为 $k^n$ 上标准内积. 本条目中, 我们把 $k^n$ 附带标准内积记作 $I_n$.

例 2.3. 设 $V$ 是二维 $k$-线性空间, $u,v$ 是其一组基. 定义 $B(u,u)=B(v,v)=0$, $B(u,v)=1$, 则这决定 $V$ 上非退化对称双线性型 $B$. 本条目中, 我们把二维空间附带该内积记作 $U$.

3性质

特征非 $2$

本小节设基域 $k$ 的特征不是 $2$. 此时对称双线性型与二次型一一对应.

命题 3.1. 设 $V$ 是 $k$-线性空间. 则有一一对应$$\{V上二次型q\}\leftrightarrow \{V上对称双线性型B\},$$两个方向映射分别为 $q\mapsto B_q(u,v)=q(u+v)-q(u)-q(v)$ 与 $B\mapsto q_B(v)=\frac{1}{2}B(v,v)$.

可以把对称双线性型试图写成像交错双线性型一样的标准型, 不过这里并没有那么标准, 会剩下一个非迷向的型.

定理 3.2. 设 $V$ 是有限维 $k$-线性空间, $B$ 是其上对称双线性型. 则 $(V,B)$ 可唯一写成 $0_n\oplus U^{\oplus m}\oplus A$ 的形式, 其中 $0_n$ 如例 2.1, $U$ 如例 2.3, $A$ 为非迷向.

证明. 设 $(V,B)$ 的零度为 $n$, 则其根自然就是 $0_n$. 取其补空间 $W$, 则由根的定义当然有 $(V,B)=0_n\oplus (W,B)$, 且 $(W,B)$ 非退化. 现对 $\dim W$ 归纳. 如 $W$ 中没有迷向向量, 我们就已经完成证明. 如有迷向向量 $u\in W$, 由非退化可取 $w\in W$ 使得 $B(u,w)=1$. 令 $v=w-\frac{1}{2}B(w,w)u$, 容易算出 $B(v,v)=0$, $B(u,v)=1$. 于是 $u,v$ 生成的子空间同构于例 2.3 中的 $U$. 由 $U$ 非退化易知 $U\cap U^{\perp }=0$, 于是由 $W$ 非退化知 $W=U\oplus U^{\perp }$. 对 $U^{\perp }$ 用归纳假设即得存在性.

唯一性是 Witt 定理的推论.

$\square$

此外, 对称双线性型都可对角化.

定理 3.3. $V$ 是有限维 $k$-线性空间, $B$ 是 $V$ 上对称双线性型. 则 $V$ 存在一组基 $\{v_1,\dots ,v_m\}$, 使得 $i\ne j$ 时 $B(v_i,v_j)=0$, 换言之, $B$ 在该基下的矩阵为对角. 当 $k$ 中每个元素都是平方, 比如 $k$ 是代数闭域时, 还可让该矩阵形如 $\mathrm{diag}(1,\dots ,1,0,\dots ,0)$.

此外, 对称双线性型还有同构延拓性质, 证明参见主条目 Witt 定理.

定理 3.4 (Witt 延拓定理). $V,V^{\prime }$ 是有限维 $k$-线性空间, $B,B^{\prime }$ 分别是 $V,V^{\prime }$ 上对称双线性型, 满足 $(V,B)\cong (V^{\prime },B^{\prime })$. 如有子空间 $W\subseteq V$, $W^{\prime }\subseteq V^{\prime }$ 之间同构 $f:(W,B)\cong (W^{\prime },B^{\prime })$, 则其可延拓为同构 $\tilde{f}:(V,B)\cong (V^{\prime },B^{\prime })$.

特征 $2$

(...)

4分类

5推广

对称双线性型也可推广到环上.

定义 5.1. 环 $R$ 的模 $M$ 上的对称双线性型指的是映射 $B:M\times M\to R$, 对两个分量都 $R$-线性, 且对任意 $m,n\in M$ 有 $B(m,n)=B(n,m)$. 称 $B$ 为非退化, 指 $M$ 为有限生成投射, 且 $B$ 在 $R$ 的各个素理想剩余域处非退化.

命题 5.2. $R$-模 $M$ 上的对称双线性型相当于 ${\mathrm{Sym}}^{2}M$ 到 $R$ 的映射, 其中 $\mathrm{Sym}$ 指对称积.

命题 5.3. 设 $2\in R^{\times }$, $B$ 是有限生成投射 $R$-模 $M$ 上非退化对称双线性型. 则在 $R$ 的 Zariski 局部上, $M$ 有一组基 $\{v_1,\dots ,v_m\}$, 使得 $i\ne j$ 时 $B(v_i,v_j)=0$, 换言之, $B$ 在该基下的矩阵为对角. 如到 $R$ 的平展局部上, 则可取基让 $B$ 的矩阵为单位阵.

6相关概念

•	对称积
•	正交群
•	Witt 群
•	$L$ 理论

术语翻译

对称双线性型 • 英文 symmetric bilinear form • 德文 symmetrische Bilinearform • 法文 forme bilinéaire symétrique • 拉丁文 forma bilinearis symmetrica • 古希腊文 συμμετρὰ διγραμμικὴ μορφή

内积 • 英文 inner product • 德文 inneres Produkt • 法文 produit interne • 拉丁文 productum internum • 古希腊文 μονόμετρον γενόμενον

标量积 • 英文 scalar product • 德文 Scalarprodukt • 法文 produit scalaire • 拉丁文 productum scalare • 古希腊文 ἐσωτερικὸν γενόμενον