对称代数

向量空间 对称代数是一个交换代数, 通常记为 , 它由形如的元素张成, 其中 是任何自然数, 并且乘积 满足交换律, 即不取决于相乘的顺序.

1定义

对称代数

定义 1.1 (对称代数).交换环, -. 则 对称代数定义为交换代数其中 张量代数, 分母是由所有形如 () 的元素生成的 的双边理想.

这样, 我们有其中 是由形如 () 的元素张成的子模, 称为 对称积.

注 1.2. 在定义 1.1 中, 对称代数 可以看成 生成的自由交换代数, 它是遗忘函子 左伴随, 其中 -交换代数的范畴. 这是自由–遗忘伴随的一个例子.

分次对称代数

(...)

2性质

命题 2.1 (维数). 是域, 维线性空间, 则 的维数为分次维数

命题 2.2.-模 , 有自然的双射其中 表示从 重对称线性映射.

命题 2.3. 复合映射 为乘以 , 其中 是对称 张量, 即 在对称群 作用下不动的元素. 特别地, 如 中可逆, 则它是同构.

命题 2.4.

余极限交换. 特别地, .

-代数, 则 . 特别地, 对 乘法子集 , 有 .

命题 2.5.概形 上的拟凝聚层, , 则它对应的群概形即为 . 这是代数–几何对偶的一个例子.

(...)

3例子

, . 此时 即为 次齐次多项式构成的模.

4相关概念

对称积

外代数

Weyl 代数

术语翻译

对称代数英文 symmetric algebra德文 symmetrische Algebra法文 algèbre symétrique