特征值

在线性代数中, 线性变换的特征值是一组用来描述该线性变换的数. 具体来说, 对线性变换 $f:V\to V$, 其特征值是数 $\lambda$, 使得存在非零向量 $v\in V$, 满足方程$$f(v)=\lambda v,$$其中 $v$ 称为特征值 $\lambda$ 的特征向量.

例如, 若 $V={\mathbb{R}}^2$ 是平面, $f$ 是沿 $x$ 轴的翻转, 即 $f(x,y)=(x,-y)$, 则 $f$ 的特征值为 $1$ 和 $-1$, 因为$$f(1,0)=(1,0),f(0,1)=(0,-1).$$

若 $V$ 是有限维向量空间, 则 $V$ 上线性变换的特征值就是其特征多项式的根. 因此, 在代数闭域上, $n$ 维空间上的线性变换就有 $n$ 个特征值, 但这些特征值可能重复.

1定义

定义 1.1 (特征值). 设 $k$ 是域, $V$ 是 $k$-向量空间, $f:V\to V$ 是 $V$ 上的线性变换.

称元素 $\lambda \in k$ 为 $f$ 的特征值, 如果存在非零元素 $v\in V$, 使得$$f(v)=\lambda v.$$此时, 称 $v$ 为特征值 $\lambda$ 的特征向量.

2相关概念

术语翻译

特征值 • 英文 eigenvalue • 德文 Eigenwert (m) • 法文 valeur propre (m)

特征向量 • 英文 eigenvector • 德文 Eigenvektor (m) • 法文 vecteur propre (m)