子向量空间

线性代数中, 向量空间子向量空间 (或线性子空间, 简称子空间) 是指该向量空间的子集, 这个子集自己也是个向量空间.

例如, 平面 的子向量空间有以下几种:

子空间只有一个, 即原点.

维的子空间是所有经过原点直线.

维的子空间只有一个, 即平面自身.

向量空间的所有子空间的集合称为 Graßmann 形, 带有有趣的几何结构. 特别地, 所有 维子空间的集合称为该向量空间的射影空间.

1定义

定义 1.1 (子向量空间)., -向量空间. 称子集 子向量空间, 如果满足以下条件:

包含原点: .

对加法封闭: 若 , 则 .

对数乘封闭: 若 , 则 .

此时, 也自然带有向量空间的结构.

2例子

每个向量空间 中, 原点 自身都是 的子向量空间.

在向量空间 中取一组向量 . 则这组向量的线性生成空间 的子空间, 也称为这组向量张成的子空间.

为所有连续函数 的空间, 为所有紧支连续函数 的空间. 则 是子向量空间. 两者都是无限维 -向量空间.

3性质

的子向量空间. 则含入映射 线性映射, 且是单射.

线性映射都是子向量空间.

4相关概念

术语翻译

子向量空间英文 vector subspace德文 Untervektorraum (m)法文 sous-espace vectoriel (m)

线性子空间英文 linear subspace德文 linearer Unterraum (m)法文 sous-espace linéaire (m)