Graßmann 形

Graßmann 形射影空间的推广: 域 上射影空间 -线性空间 中所有一维子空间构成的空间, 而域上 Graßmann 形 则是 中所有 维子空间构成的空间. 在微分几何代数几何中, Graßmann 形均可赋予相应的结构, 分别称为 Graßmann 流形Graßmann 概形.

Graßmann 形可以嵌入到射影空间中, 称为 Plücker 嵌入, 这使它有良好的几何性质, 例如在域 时它, 且在代数几何中它是射影概形.

Graßmann 形上另一个重要构造是 Schubert 胞腔, 它们给出了 Graßmann 形上的胞腔结构, 且在相交下表现良好, 从而通过它们能计算出 Graßmann 形的周环上同调.

由于向量空间空间的自同构群在 维子线性空间上作用传递, Graßmann 形还有齐性空间的结构.

1定义

作为集合

定义 1.1 (Graßmann 形). 给定域 -向量空间 , Graßmann 形 上所有 线性子空间构成的集合. 当 取为 时, 也记作 . 子空间 中对应的点记作 .

例 1.2. 作为最简单的例子, 就是一个点. 就是射影空间 . 时, 对偶空间 的射影空间 .

作为流形

主条目: Graßmann 流形

(...)

作为概形

主条目: Graßmann 概形

定义 1.3 (Graßmann 概形).概形 , Graßmann 概形 是由函子决定的概形.

2性质

Plücker 嵌入

主条目: Plücker 嵌入

Graßmann 形可以嵌入至射影空间中.

定义 2.1 (Plücker 嵌入). Plücker 嵌入指映射

在微分几何中此嵌入是闭嵌入, 在代数几何中此嵌入是闭浸入.

Schubert 胞腔

主条目: Schubert 胞腔

Graßmann 形上有自然的胞腔结构.

定义 2.2 (Schubert 胞腔). 记号同上, 设 , 对于 中的 以及满足的一组数 , Schubert 胞腔 是 Graßmann 形的子集

此定义看似抽象, 实际上就是在模拟矩阵消元. (...)

齐性空间结构

(...)

3相关概念

射影空间

仿射 Graßmann 形

旗簇旗流形

分类空间

Fano 概形

术语翻译

Graßmann 形英文 Grassmannian法文 Grassmannienne (f)