联络

联络是纤维丛上的一种额外结构. 一个联络给出了一种把相邻的纤维等同起来的方式, 即相邻的纤维之间相互 “联络” 的方式. 这种等同方式提供了以下的操作:

•	协变导数 — 我们可以对纤维丛的截面求方向导数, 而不依赖于坐标选取. 通过这种方式, 我们可以定义向量场、微分形式等几何对象的方向导数.
•	平行移动 — 我们可以把纤维沿着一条曲线转移到别的纤维上, 转移的方式是沿着曲线, 不断地将相邻的纤维等同起来.
•	水平子空间 — 纤维丛的全空间的切空间可以分成两个子空间的直和: 竖直子空间, 即纤维的切空间, 和水平子空间, 也就是从该点指向它周围的纤维上对应的点的那些向量张成的空间.

反过来, 这三者中的任一个都能给出联络的所有信息. 因此, 这三种观点事实上能给出联络的三种等价定义.

此外, 在代数几何中可以在更一般的空间上谈论联络, 上述构造也被模仿, 参见联络 (代数几何).

1定义

记号 1.1 ($\mathbb{K}$). 在这一节, 我们记 $\mathbb{K}$ 为 $\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$ 之一.

通过协变导数

定义 1.2 (一般的联络). (...)

定义 1.3 (向量丛上的联络). 设 $X$ 是光滑流形, $p:E\to X$ 是光滑 $\mathbb{K}$-向量丛. 定义 $E$ 上的一个联络为一个映射$$\begin{array}{rl}\nabla :\Gamma (TX)\otimes \Gamma (E)& \to \Gamma (E),\\ (v,s)& \mapsto {\nabla }_{v}s,\end{array}$$称为协变导数, 它的含义是将 $E$ 的截面 $s$ 关于 $X$ 上的向量场 $v$ 求方向导数, 并满足以下公理:

•	${\nabla }_{v}s$ 关于 $v$ 是 $C^{\infty }(X)$-线性的, 关于 $s$ 是 $\mathbb{K}$-线性的.
•	(Leibniz 法则) 如果 $v\in \Gamma (TX)$, $s\in \Gamma (E)$, $f\in C^{\infty }(X,\mathbb{K})$, 那么$${\nabla }_v(fs)=(vf)s+f{\nabla }_{v}s.$$

注 1.4. 在定义 1.3 中, 联络 $\nabla$ 也可以看成是一个映射$$\begin{array}{rl}\nabla :\Gamma (E)& \to {\Omega }^1(X,E),\\ s& \mapsto \nabla s,\end{array}$$其中 $\nabla s$ 是 $E$-取值的 $1$-形式 (即 $T^{\ast }X\otimes E$ 的截面), 它对向量场 $v$ 的取值是 ${\nabla }_{v}s$. 此时, Leibniz 法则可以写成$$\nabla (fs)=df\otimes s+f\nabla s.$$

通过平行移动

(...)

通过水平子空间

对主丛

定义 1.5. 设 $G$ 是 Lie 群, $P\to M$ 是光滑 $G$-主丛. 记 $V\subset TP$ 为竖直子丛, 也就是由纤维的切空间构成的子丛.

$P$ 上的联络是子丛 $H\subset TP$, 称为水平子丛, 满足

•	$TP=H\oplus V$. 这是指在每点 $x\in P$, 向量空间 $T_{x}P$ 都是子空间 $H_x$ 与 $V_x$ 的直和.

•	子丛 $H$ 与 $G$-作用相容: 对 $g\in G$ 和 $x\in P$, 记 $R_g:P\to P$ 为元素 $g$ 的作用. 则要求切映射 $d{R}_g:T_{x}P\to T_{xg}P$ 将 $H_x$ 映到 $H_{xg}$.

对纤维丛

定义 1.6. 设 $p:E\to M$ 是光滑纤维丛. 记 $V\subset TE$ 为竖直子丛, 也就是由纤维的切空间构成的子丛.

$E$ 上的联络是子丛 $H\subset TE$, 称为水平子丛, 满足

•	$TE=H\oplus V$.

2联络形式

(...)

3曲率

(...)

4相关概念

•	曲率
•	超联络
•	陈–Weil 理论
•	$\mathcal{D}$ 模

术语翻译

联络 • 英文 connection • 德文 Zusammenhang (m) • 法文 connexion (f)