嵌入 (微分几何)

关于其它含义, 请参见 “嵌入”.

在微分几何中, 嵌入是光滑流形间的一类光滑映射, 它将某个光滑流形放进另一个光滑流形中, 作为其子流形.

1定义

定义 1.1 (嵌入). 设 $X,Y$ 为光滑流形, $f:X\to Y$ 为光滑映射. 称 $f$ 为嵌入, 若满足以下条件:

•

$f$ 是浸入.

•	$f$ 是拓扑空间的嵌入. 换言之, $f:X\to f(X)$ 是拓扑空间的同胚, 这里 $f(X)$ 带有子空间拓扑.

此时, 称 $X$ 为 $Y$ 的子流形, 也称为嵌入子流形或正则子流形.

在上述情况下, 我们常常记 $f:X\hookrightarrow Y$, 以表明 $f$ 是嵌入.

定义 1.2 (闭嵌入). 设 $X,Y$ 为光滑流形, $f:X\hookrightarrow Y$ 为嵌入. 称 $f$ 为闭嵌入, 若满足以下等价条件之一:

•

$f$ 是闭映射.

•	$f(X)$ 是 $Y$ 中的闭集.

此时称 $X$ 为 $Y$ 的闭子流形.

2例子

•	若 $Y$ 是任何光滑流形, $U\subset Y$ 是开集, 则含入映射 $i:U\hookrightarrow Y$ 是嵌入. 若 $U$ 是开闭集, 则 $i$ 也是闭嵌入.

•	对自然数 $n\ge m\ge 0$, 映射$$\begin{array}{rl}f:{\mathbb{R}}^m& ⟶{\mathbb{R}}^n\\ (x_1,\dots ,x_m)& ⟼(x_1,\dots ,x_m,0,\dots ,0)\end{array}$$是嵌入, 且是闭嵌入.

还有一些不是嵌入的例子.

•	考虑 $f:]0,2\pi [\to {\mathbb{R}}^2$, 定义为$$f(x)=(\frac{a\sin x}{1+{\cos }^{2}x},\frac{a\sin x\cos x}{1+{\cos }^{2}x}).$$其像为 Bernoulli 双扭线, 它从双扭线的交叉点出发, 绕行一周, 恰好经过每个点一次. 则 $f$ 是浸入, 且是单射, 但不是嵌入, 因为 $]0,2\pi [$ 与双扭线并不同胚.

3性质

基本性质

命题 3.1 (局部形式). 设 $f:X\to Y$ 是嵌入. 则对任意 $x\in X$, 存在 $x$ 的开邻域 $U\subset X$ 和其上局部坐标 $x^1,\dots ,x^m$, 以及 $f(x)$ 的开邻域 $V$ 和其上局部坐标 $y^1,\dots y^n$, 满足以下条件:

•	$f(U)=f(X)\cap V$.

•	$f$ 在这个局部坐标下可以写为$$(t_1,\dots ,t_m)\mapsto (t_1,\dots ,t_m,0,\dots ,0).$$

证明. 这是常秩定理的推论.

$\square$

推论 3.2. 设 $f:X\to Y$ 是嵌入. 则 $f(X)$ 是 $Y$ 的局部闭集.

Whitney 嵌入定理

主条目: Whitney 嵌入定理

定理 3.3 (Whitney 嵌入定理). 设 $n$ 是自然数. 则任何 $n$ 维光滑流形都有到 ${\mathbb{R}}^{2n+1}$ 的闭嵌入.

4参考文献

•	J. Lee (2012). Introduction to Smooth Manifolds, 2ed. Graduate Texts in Mathematics 218. Springer.

•	V. S. Varadarajan (2013). Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations. Graduate Texts in Mathematics 102. Springer New York.

术语翻译

嵌入 • 英文 embedding • 法文 plongement