切映射

在微分几何中, 光滑流形间光滑映射的切映射是指相应流形的切空间之间的线性映射, 作为与原来映射的线性逼近, 也就是与之 “最接近” 的线性映射. 切映射的概念是导数的高维推广.

1定义

我们先叙述 Euclid 空间之间映射的切映射的定义, 因为这一情况下定义比较直接. 在此之后, 我们再对一般的流形间的映射定义切映射, 这一定义稍微抽象一些.

对 Euclid 空间的映射

定义 1.1. 设 $m,n$ 是自然数, $U\subset {\mathbb{R}}^m$ 和 $V\subset {\mathbb{R}}^n$ 是开集, $f:U\to V$ 是连续可微映射. 设 $x\in U$. 则 $f$ 在 $x$ 处的切映射是指 切空间之间的线性映射$$d{f}_x:{\mathrm{T}}_{x}U⟶{\mathrm{T}}_{f(x)}V,$$由 Jacobi 矩阵$$\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f^1}{\partial x^1}(x)& \cdots & \frac{\partial f^1}{\partial x^m}(x)\\ ⋮& & ⋮\\ \frac{\partial f^n}{\partial x^1}(x)& \cdots & \frac{\partial f^n}{\partial x^m}(x)\end{array}\right)$$给出. 这里 $f^1,\dots ,f^n$ 是 $f$ 的各分量, 而 $x^1,\dots ,x^m$ 是 $U$ 上的坐标. 我们自然地将 ${\mathrm{T}}_{x}U$ 与 ${\mathbb{R}}^m$ 等同起来, 将 ${\mathrm{T}}_{f(x)}V$ 与 ${\mathbb{R}}^n$ 等同起来.

对流形的映射

定义 1.2. 设 $X,Y$ 是光滑流形, $f:X\to Y$ 是光滑映射. 设 $x\in X$. 则 $f$ 在 $x$ 处的切映射是指切空间之间的线性映射$$\begin{array}{rl}d{f}_x:{\mathrm{T}}_{x}X& ⟶{\mathrm{T}}_{f(x)}Y,\\ v& ⟼d{f}_x(v),\end{array}$$这里 $d{f}_x(v)$ 定义如下: 对任何 $g\in C^{\infty }(Y)$, 有$$d{f}_x(v)(g)=v(g\circ f).$$

更一般地, 若 $X,Y$ 是 $C^1$ 流形, 而 $f$ 是 $C^1$ 映射, 则上述定义仍然有效, 只需将 $g\in C^{\infty }(Y)$ 换成 $g\in C^1(Y)$.

可以验证 (命题 3.1), 在定义 1.1 的情况下, 这里定义的切映射确实与定义 1.1 给出的相同. 而这个定义更加一般, 并且不依赖于坐标.

2例子

•	设 $f:]a,b[\to \mathbb{R}$ 是连续可微函数, 设 $x\in ]a,b[$. 则切映射 $d{f}_x:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 就是乘以 $f^{\prime }(x)$.

•	设 $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$, 定义为 $f(x,y)=(x\cos y,x\sin y)$. 则 $f$ 在点 $(x,y)$ 的切映射 $d{f}_{(x,y)}:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 由其 Jacobi 矩阵给出: $$d{f}_{(x,y)}=\left(\begin{array}{cc}\cos y& -x\sin y\\ \sin y& x\cos y\end{array}\right).$$

•	设 $X,Y$ 为光滑流形, $f:X\to Y$ 将所有点都映到某个 $y\in Y$. 换言之, $f$ 是常映射. 则 $f$ 的所有切映射都为 $0$.

•	设 $X$ 是光滑流形, 考虑恒同映射 $1_X:X\to X$. 则对任意 $x\in X$, 切映射 $d(1_X{)}_x:{\mathrm{T}}_{x}X\to {\mathrm{T}}_{x}X$ 是切空间的恒同映射.

3性质

基本性质

命题 3.1. 在定义 1.1 的情况下, 定义 1.2 给出的切映射与定义 1.1 给出的相同.

证明.

证明. 我们使用定义 1.2 的记号, 设 $X$ 为 ${\mathbb{R}}^m$ 中的开集, $Y$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的开集. 则 ${\mathrm{T}}_{x}X$ 与 ${\mathrm{T}}_{f(x)}Y$ 分别由基$$\{\frac{\partial }{\partial x^1},\dots ,\frac{\partial }{\partial x^m}\},\{\frac{\partial }{\partial y^1},\dots ,\frac{\partial }{\partial y^n}\}$$张成. 由链式法则得到$$\begin{array}{rl}d{f}_x\left(\frac{\partial }{\partial x^i}\right)(g)& =\frac{\partial }{\partial x^i}(g\circ f)(x)\\ & =\sum _{j=1}^n\frac{\partial f^j}{\partial x^i}(x)\cdot \frac{\partial g}{\partial y^j}(f(x))\\ & =(\sum _{j=1}^n\frac{\partial f^j}{\partial x^i}(x)\cdot \frac{\partial }{\partial y^j})(g),\end{array}$$因此我们看出, 切映射 $d{f}_x$ 确实由 $f$ 的 Jacobi 矩阵给出.

$\square$

命题 3.2. 切映射保持映射复合. 具体而言, 设 $X,Y,Z$ 为光滑流形, $f:X\to Y$ 和 $g:Y\to Z$ 为光滑映射. 则对任意 $x\in X$, 有$$d(g\circ f{)}_x=d{g}_{f(x)}\circ d{f}_x:{\mathrm{T}}_{x}X⟶{\mathrm{T}}_{g\circ f(x)}Z.$$

证明.

证明. 由定义 1.2 立刻得出.

$\square$

4相关概念

术语翻译

切映射 • 英文 tangent map