连续可微映射

连续可微映射是指 Euclid 空间或流形之间的映射, 它的各偏导数都是连续映射.

1定义

定义 1.1 (Euclid 空间上的连续可微映射). 设 $U\subset {\mathbb{R}}^m$ 和 $V\subset {\mathbb{R}}^n$ 是开集, $f:U\to V$ 是一个映射.

•	如果 $f$ 是连续映射, 就称 $f$ 是 $0$ 次连续可微映射, 或 ${\mathbf{C}}^0$ 映射.
•	对 $p=1,2,\dots$, 如果 $f$ 具有所有的 $p$ 阶偏导数, 且这些偏导数都连续, 就称 $f$ 是 $\mathbf{p}$ 次连续可微映射, 或 ${\mathbf{C}}^{\mathbf{p}}$ 映射.
•	如果对所有的 $p=1,2,\dots ,$ 映射 $f$ 都是 $C^p$ 映射, 就称 $f$ 是光滑映射, 或 ${\mathbf{C}}^{\infty }$ 映射.
•	如果 $f$ 在每点附近都能写成收敛的 Taylor 级数, 就称 $f$ 是解析映射, 或 ${\mathbf{C}}^{\mathbf{\omega }}$ 映射.

不加修饰的 “连续可微映射” 通常指 $1$ 次连续可微映射, 即 $C^1$ 映射.

对 $p=0,1,2,\dots ,\infty ,\omega$, 所有 $U$ 到 $V$ 的 $C^p$ 映射的集合通常记为 $C^p(U,V)$.

定义 1.2 (流形上的连续可微映射). 设 $X,Y$ 是 $C^q$ 流形, 其中 $q=0,1,2,\dots ,\infty ,\omega$. 设 $f:X\to Y$ 是一个映射. 设 $p\in \{0,1,2,\dots ,\infty ,\omega \}$, 并且 $p\le q$, 这里我们认为 $\infty <\omega$.

映射 $f$ 称为一个 ${\mathbf{C}}^{\mathbf{p}}$ 映射, 如果 $f$ 关于 $X,Y$ 各自的 $C^q$ 坐标图册的坐标表示是 Euclid 空间之间的 $C^p$ 映射 (定义 1.1).

所有 $X$ 到 $Y$ 的 $C^p$ 映射的集合通常记为 $C^p(X,Y)$.

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