介值定理

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注意区分本文与 “中值定理”.

微积分学中, 介值定理是指如下定理: 若有连续函数 , 则介于 之间的所有实数都能被 取到.

例如, 基于此性质, 我们可以寻找函数的零点: 如果我们发现 , 则一定有 使 . 我们可以进一步将 划分成更小的区间, 以更精确地计算 的值. 这也称为二分法.

1叙述与证明

定理 1.1 (介值定理).实数, 连续函数. 则 的值域 一定是闭区间 (包括单点集).

特别地, 介于 之间的所有实数都能被 取到.

证明. 由于闭区间 连通的, 其像 也如此. 但 的连通子集只能是区间 (包括单点集); 由 Heine–Borel 定理, 紧的区间一定是闭区间.

术语翻译

介值定理英文 intermediate value theorem德文 Zwischenwertsatz (m)法文 théorème des valeurs intermédiaires (m)