反函数定理

微积分中, 反函数定理给出了逆映射存在的一个充分条件. 它说明, 如果一个映射的切映射 (即 Jacobi 矩阵) 在某一点可逆, 那么这个映射在这一点附近具有逆映射.

1定理和证明

定理 1.1 (反函数定理).开集, 是一个 映射 (). 假设

处的 Jacobi 矩阵 可逆矩阵.

那么存在开集 , , 以及开集 , , 使得 微分同胚. 并且, 对任意 , 若记 , 则

证明. 通过平移, 不妨设 . 记 , 并设 . 取 的邻域 , 使得对任意 , 有 , 且 , 其中 表示矩阵范数. 则对任意 , 有从而 , 其中 . 特别地, 是单射.

为半径 的开球, 其中 取得使 . 对每个固定的 , 考虑映射其中 . 则 的不动点当且仅当 . 我们想证明 压缩映射, 从而这样的 存在. 我们有其中我们使用了 . 这说明 . 另一方面, 对任意 , 有这里我们使用了 . 这说明 的确是压缩映射. 因此, 存在不动点, 即存在 , 使得 . 并且, 这样的不动点在 中是唯一的.

. 我们已经证明 是双射. 记其逆映射为 . 对 , 我们有 . 因此, 上连续, 从而 是同胚.

接下来, 我们证明 是连续可微的, 且其导数 由定理叙述中的公式给出. 固定 , 记 (注意这与定理叙述中的记号不同). 由于 是同胚, 我们有这说明 处可微, 其微分为 .

最后, 为证明 的, 我们只需证明映射 的. 这可以对 归纳完成: 我们知道 是连续 (即 ) 的, 是连续的, 的, 所以这三个映射的复合 的, 从而 的. 如果 还是 的, 那么 的, 同理知 的, 从而 的, 以此类推.

推论 1.2 (流形上的反函数定理).光滑流形, 是一个光滑映射. 假设

处的切映射 是可逆线性映射.

那么存在开集 , , 以及开集 , , 使得微分同胚. 并且, 对任意 , 若记 , 则

2推论

术语翻译

反函数定理英文 inverse function theorem