Fourier 级数

Fourier 级数是把 $\mathbb{R}$ 上周期函数展开成三角级数 (即各项形如 $e^{2\pi inx}$ 的级数) 的方法, 是局部紧交换群上 Fourier 变换的特殊情形. 它应用广泛, 是分析周期函数、求解微分方程的常用工具.

1定义

定义 1.1. 设函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ 为周期函数, 周期为 $1$, 且 $f\in L^1(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$, 即 $f$ 在 $[0,1]$ 上 Lebesgue 可积. 对 $n\in \mathbb{Z}$, $f$ 的第 $n$ 个 Fourier 系数, 记作 $\hat{f}(n)$ 或 $c_n(f)$, 指的是$${\int }_0^{1}f(x)e^{-2\pi inx}\mathrm{d}x.$$$f$ 的 Fourier 级数指函数项级数$$\sum _{n\in \mathbb{Z}}\hat{f}(n)e^{2\pi inx},$$不论其收敛性如何. 如 $f$ 是 $[0,1]$ 或 $[-1/2,1/2]$ 上的可积函数, 可将其周期延拓, 视为 $L^1(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 中的函数, 此时也称该周期延拓的 Fourier 级数 (系数) 为 $f$ 的 Fourier 级数 (系数).

注 1.2. 一些书中, 周期 $1$ 的函数 $f$ 的 Fourier 级数形式为$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(f)\cos (2\pi nx)+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n(f)\sin (2\pi nx).$$这里的形式和它的对应关系为$$\{\begin{array}{ll}{a}_0(f)=c_0(f);& \\ a_n(f)=c_n(f)+c_{-n}(f),& n\in {\mathbb{Z}}_{+};\\ b_n(f)=i(c_n(f)-c_{-n}(f)),& n\in {\mathbb{Z}}_{+}.\end{array}$$

也可对 ${\mathbb{R}}^n$ 及其上周期函数定义.

定义 1.3. 设 $n\in \mathbb{N}$, $\Lambda \subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是晶格. $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{C}$ 是周期为 $\Lambda$ 的周期函数, 即对 $\lambda \in \Lambda$ 都有 $f(x+\lambda )=f(x)$. 记 ${\Lambda }^{\vee }={\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(\Lambda ,\mathbb{Z})$ 为其对偶. 设 $f\in L^1({\mathbb{R}}^n/\Lambda )$, 即 $f$ 在 ${\mathbb{R}}^n/\Lambda$ 上 Lebesgue 可积. 对 $\xi \in {\Lambda }^{\vee }$, $f$ 的第 $\xi$ 个 Fourier 系数, 记作 $\hat{f}(\xi )$ 或 $c_{\xi }(f)$, 指的是$${\int }_{{\mathbb{R}}^n/\Lambda }f(x)e^{-2\pi i\xi (x)}\mathrm{d}x;$$这里 $\mathrm{d}x$ 表示标准化 Lebesgue 测度, 即 ${\mathbb{R}}^n$ 的 Lebesgue 测度的适当倍数, 使得 ${\mathbb{R}}^n/\Lambda$ 测度是 $1$; $\xi$ 按线性延拓自然视为 ${\mathbb{R}}^n=\Lambda {\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数, 自然诱导 ${\mathbb{R}}^n/\Lambda$ 到 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 的函数. $f$ 的 Fourier 级数指函数项级数$$\sum _{\xi \in {\Lambda }^{\vee }}\hat{f}(\xi )e^{2\pi i\xi (x)},$$不论其收敛性如何.

(缓增分布的也要写.)

2性质

命题 2.1 (导数). $\widehat{f^{\prime }}(n)=2\pi in\hat{f}(n)$, 只要等号两边有意义. 多元情形对向量 $v\in {\mathbb{R}}^n$, 类似地有 $f_v^{\prime }(\xi )=\xi (v)\hat{f}(\xi )$, 其中 $f_v^{\prime }$ 表示 $f$ 沿 $v$ 的方向导数, 即 $f_v^{\prime }(x)=\frac{\partial f(x+tv)}{\partial t}{|}_{t=0}$.

命题 2.2 (乘积). $\widehat{fg}=\hat{f}\ast \hat{g}$, $\widehat{f\ast g}=\hat{f}\hat{g}$, 只要等号两边有定义, 其中 $\ast$ 指卷积.

命题 2.3. 设 $\Lambda ={\mathbb{Z}}^n$, 将 ${\Lambda }^{\vee }$ 也等同于 ${\mathbb{Z}}^n$. 设 $f(x)=f_1(x_1)\cdots f_n(x_n)$ 为分离变量, 则 $\hat{f}(\xi )=\widehat{f_1}({\xi }_1)\cdots \widehat{f_n}({\xi }_n)$ 亦为分离变量.

命题 2.4. 变换 $f\mapsto \hat{f}$ 为从 $L^1$-范数到 $L^{\infty }$-范数的有界算子, 算子范数为 $1$. 具体地说, $\Vert \hat{f}{\Vert }_{\infty }\le \Vert f{\Vert }_1$, 且等号可以取到.

推论 2.5 (Riemann–Lebesgue 引理). 对 $f\in L^1$, ${\lim }_{|\xi |\to \infty }\hat{f}(\xi )=0$. 换言之, $\hat{f}\in C_0({\Lambda }^{\vee })\subseteq L^{\infty }({\Lambda }^{\vee })$.

命题 2.6 ($L^2$ 性质). 如 $f\in L^2({\mathbb{R}}^n/\Lambda )$, 则 $\hat{f}\in L^2({\Lambda }^{\vee })$, $\Vert f{\Vert }_2=\Vert \hat{f}{\Vert }_2$, 且 $f$ 的 Fourier 级数 $L^2$-收敛到 $f$. 换言之, $f\mapsto \hat{f}$ 给出 Hilbert 空间同构 $L^2({\mathbb{R}}^n/\Lambda )\to L^2({\Lambda }^{\vee })$.

推论 2.7 ($L^p$ 性质). 设 $p\in [1,2]$, $p^{\prime }=(1-p^{-1}{)}^{-1}\in [2,+\infty ]$. 如 $f\in L^p$, 则 $\hat{f}\in L^{p^{\prime }}$, 且 $\Vert \hat{f}{\Vert }_{p^{\prime }}\le \Vert f{\Vert }_p$.

命题 2.8. 如 $f\in C^{k+\alpha }$ 在 Hölder 空间中, 其中 $k\in \mathbb{N}$, $0<\alpha \le 1$, 则 $\hat{f}(\xi )=O(|\xi {|}^{-k-\alpha })$.

逐点收敛性

上面已经看到 $L^2$ 函数的 Fourier 级数 $L^2$-收敛到其本身. 事实上, 该收敛是几乎处处的, 这是 Carleson 定理.

定理 2.9 (Carleson–Hunt). 对 $f\in L^p$, 其中 $p>1$, 都有函数项级数$$\sum _{\xi \in {\Lambda }^{\vee }}\hat{f}(\xi )e^{2\pi i\xi (x)}$$几乎处处收敛到 $f$ 本身.

但 $L^1$ 函数的 Fourier 级数逐点收敛性可以很差, 这是 Kolmogorov 在 19 岁就指出的事实.

定理 2.10 (Kolmogorov). 存在函数 $f\in L^1(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$, 使得函数项级数$$\sum _{n\in \mathbb{Z}}\hat{f}(n)e^{2\pi inx}$$处处不收敛.

关于一个点的收敛还有以下判别:

定理 2.11 (Dirichlet–Dini 判别法). 设 $f\in L^1(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$, $x_0\in \mathbb{R}/\mathbb{Z}$, $c\in \mathbb{C}$, 满足$${\int }_0^1\left|\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)}{2}-c\right|\frac{\mathrm{d}t}{t}<\infty ,$$则 $f$ 的 Fourier 级数在 $x_0$ 处收敛到 $c$.

3例子

•

形如 $e^{2\pi inx}$, $n\in \mathbb{Z}$ 的函数的有限线性组合, 其 Fourier 级数显然是自身.

•

考虑 $f(x)$ 为恒同函数 $x$ 在 $[0,1]$ 的限制. 则显然 $\hat{f}(0)=1/2$, 而对 $n\ne 0$ 有$$\hat{f}(n)={\int }_0^{1}x{e}^{-2\pi inx}\mathrm{d}x=\frac{i}{2\pi n}.$$于是由命题 2.6 即得$$\frac{1}{2^2}+\sum _{n\in \mathbb{Z}\setminus 0}\frac{1}{(2\pi n{)}^2}={\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x=\frac{1}{3},$$即$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$$此法可对 $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$ 求出 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2k}}$, 但不如用复分析来得高效.

4推广

局部紧交换群上的 Fourier 变换是其推广, 即可以把 Fourier 级数中的 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 和 ${\mathbb{R}}^n/\Lambda$ 换成一般的局部紧交换群. 对于紧交换群 $G$, 其 Fourier 变换从 $L^1(G)$ 中函数得到 Pontryagin 对偶 $\hat{G}$ 上的函数, 而 $\hat{G}$ 为离散, 所以实际上也就是把 $L^1(G)$ 中函数表为函数项级数, 各项为特征 $G\to S^1\subseteq \mathbb{C}$.

5相关概念

•	Fourier 变换
•	Gibbs 现象
•	Stone–Weierstrass 逼近定理

术语翻译

Fourier 级数 • 英文 Fourier series • 德文 Fourierreihe • 法文 série de Fourier • 拉丁文 series Fourieriana • 希腊文 σειρά Φουριέ

Fourier 系数 • 英文 Fourier coefficient • 德文 Fourier-Koeffizient • 法文 coefficient de Fourier • 拉丁文 coefficiens Fourierianus • 希腊文 συντελεστής Φουριέ