级数

级数是指形如$$x_1+x_2+x_3+\cdots$$的表达式, 即对可数无穷个元素 $x_i$ 求和的表达式, 这里各 $x_i$ 可以是实数、复数等等.

这样的无穷求和不一定能得到一个结果. 例如, 级数 $1+1-1+1-\cdots$ 就没有一个明显的结果. 为了严格描述这一现象, 我们将求和的结果定义为其前若干项之和的极限. 当该极限存在时, 就称之为求和的结果, 称该级数为收敛级数. 否则, 称该级数为发散级数.

1定义

定义 1.1 (级数). 设 $V=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$, 或更一般的拓扑向量空间.

•	$V$ 中的级数是指形如$$x_1+x_2+x_3+\cdots$$的表达式, 其中每个 $x_i\in V$. 该级数也记作$$\sum _{i=1}^{\infty }{x}_i.$$

•	对自然数 $n$, 级数 ${\sum }_{i=1}^{\infty }{x}_i$ 的第 $n$ 个部分和是指元素 $s_n\in V$, 定义为$$s_n=\sum _{i=1}^n{x}_i.$$

•	级数 ${\sum }_{i=1}^{\infty }{x}_i$ 的和是指 $V$ 中的极限$$s=\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n.$$若该极限存在, 则称该级数为收敛级数, 并记$$\sum _{i=1}^{\infty }{x}_i=s.$$否则, 称该级数为发散级数.

2例子

•	级数$$\sum _{i=1}^{\infty }\frac{1}{2^i}$$是收敛级数, 其和为 $1$, 因为其部分和 $s_n=1-1/2^n$, 当 $n\to \infty$ 时趋于 $1$.

•	调和级数$$\sum _{i=1}^{\infty }\frac{1}{i}$$是发散级数.

术语翻译

级数 • 英文 series • 德文 Reihe (f) • 法文 série (f) • 日文 級数 (きゅうすう) • 韩文 급수 (級數)

收敛级数 • 英文 convergent series • 德文 konvergente Reihe • 法文 série convergente • 日文 収束級数 • 韩文 수렴급수

发散级数 • 英文 divergent series • 德文 divergente Reihe • 法文 série divergente • 日文 発散級数 • 韩文 발산급수

部分和 • 英文 partial sum • 德文 Partialsumme (f) • 法文 somme partielle (f) • 日文 部分和 • 韩文 부분합