对数函数

对数函数 $\log$ 是指数函数的反函数, 它是 ${\mathbb{C}}^{\ast }=\mathbb{C}\backslash \{0\}$ 上的全纯多值函数, 当限制在 ${\mathbb{C}}^{\ast }$ 的单连通区域时, 它可以成为单值函数, 即普通的函数, 特别地, 当它限制在正实数 ${\mathbb{R}}_{+}$ 上时, 是函数 ${\mathbb{R}}_{+}\to \mathbb{R}$. 它的两个最重要的性质是$$\begin{array}{rl}\log (xy)& =\log (x)+\log (y),\\ {\log }^{\prime }(x)& =\frac{1}{x}.\end{array}$$

1定义

通过反函数

定义 1.1 (对数函数). 对数函数 $\log$ 是指数函数的反函数, 由此它是 $\mathbb{C}$ 上的多值函数.

如果限制在 $\mathbb{C}$ 中的单连通区域, 例如正实数上, 对数函数是上述多值函数使 $\log (1)=0$ 的分支, 此时它是个普通的函数.

通过幂级数

定义 1.2 (对数函数). 对数函数 $\log :B(1,1)\to \mathbb{C}$ 定义为下面的幂级数: $$\log (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}(x-1{)}^n(x\in B(1,1)).$$这里 $B(1,1)$ 表示以 $1$ 为圆心, 半径为 $1$ 的圆盘.

这种方法的问题在于在 $\mathbb{C}$ 的其它地方它不收敛.

2性质

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