Jensen 公式

复分析中, Jensen 公式将全纯函数在一个圆上的积分与其在圆中的零点联系起来.

1陈述与证明

定理 1.1 (Jensen 公式). 设 $R\in {\mathbb{R}}_{+}$. 若 $f(z)$ 在一个包含 $|z|\le R$ 的开集内是全纯函数, 且 $f(0)\ne 0$, 则$${\int }_0^1\log |f(R{e}^{2\pi it})|\mathrm{d}t=\log |f(0)|+\sum _{f(\rho )=0}\log \frac{R}{|\rho |},$$其中对零点求和记重数.

证明. 以下用 $n(r)$ 表示 $f(z)$ 在 $|z|\le r$ 中的零点个数, 则根据幅角原理可知当 $f(z)$ 在 $|z|=r$ 上无零点时

$$n(r)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z|=r}\frac{f^{\prime }}{f}(z)\mathrm{d}z={\int }_0^1\frac{f^{\prime }}{f}(r{e}^{2\pi it})e^{2\pi it}\mathrm{d}t.$$

由于上式对除有限个值之外的 $(r,t)\in [0,R]\times [0,1]$ 成立, 所以两边积分可得

$${\int }_0^R\frac{n(r)}{r}\mathrm{d}r={\int }_0^1\log f(R{e}^{2\pi it})\mathrm{d}t-\log f(0).$$

由于左侧为实数, 对右侧取实部就有

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1\log |f(R{e}^{2\pi it})|\mathrm{d}t& =\log |f(0)|+n(R)\log R-{\int }_0^R\log r\mathrm{d}n(r)\\ & =\log |f(0)|+\sum _{|\rho |\le R}\log \frac{R}{|\rho |}.\end{array}$$

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2应用

仍用 $n(r)$ 表示 $f(z)$ 在 $|z|\le r$ 中的零点个数. 利用对数函数的性质, 可以发现当 $0\le r\le R$ 时

$$\sum _{|\rho |\le R}\log \frac{R}{|\rho |}\ge \sum _{|\rho |\le r}\log \frac{R}{|\rho |}\ge n(r)\log \frac{R}{r}.$$

因此当我们知道 $f(z)$ 在 $|z|\le R$ 中的模长上界时, 便可以得到 $n(r)$ 的上界:

定理 2.1 (Jensen 不等式). 若 $f(z)$ 在一个包含 $|z|\le R$ 的开集内解析, $f(0)\ne 0$, 并且在 $|z|=R$ 上 $|f(z)|\le M$, 则$$n(r)\le \frac{\log (M/|f(0)|)}{\log (R/r)}.$$

证明. $$n(r)\log \frac{R}{r}\le \sum _{|\rho |\le R}\log \frac{R}{|\rho |}={\int }_0^1\log |f(R{e}^{2\pi it})|\mathrm{d}t-\log |f(0)|\le \log \frac{M}{|f(0)|}.$$

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3相关概念

•	幅角原理
•	阶 (复分析)

术语翻译

Jensen 公式 • 英文 Jensen’s formula