p 进复数

$p$ 进复数域是 $p$ 进数域 ${\mathbb{Q}}_p$ 的代数闭包的完备化, 通常记作 ${\mathbb{C}}_p$. 它仍然是个代数闭域, 并带有绝对 Galois 群 $\mathrm{Gal}({\mathbb{Q}}_p)$ 的作用.

$p$ 进复数在 $p$ 进 Hodge 理论和 $p$ 进 Galois 表示理论中很常用, 它与许多的 $p$ 进周期环有联系.

1定义

定义 1.1 ($p$ 进复数). $p$ 进复数域是 $p$ 进数域 ${\mathbb{Q}}_p$ 的代数闭包的完备化, 通常记作 ${\mathbb{C}}_p$. 绝对 Galois 群 $\mathrm{Gal}({\mathbb{Q}}_p)$ 在 ${\mathbb{Q}}_p$ 的代数闭包上的作用自然延拓至其上.

2性质

首先罗列一些基本性质:

命题 2.1.

•	${\mathbb{Q}}_p$ 上的赋值 (约定 $v(p)=1$) 自然延拓至 $p$ 进复数域 ${\mathbb{C}}_p$ 上, 此时 ${\mathbb{C}}_p$ 的赋值取遍有理数 $\mathbb{Q}$.
•	${\mathbb{C}}_p$ 是代数闭域, 这样我们就得到了在 $p$ 进拓扑下完备的代数闭域.
•	特别地, ${\mathbb{C}}_p$ 是完美胚域.

此外, $p$ 进复数域与许多$p$ 进周期环有关.

命题 2.2. de Rham 周期环 ${\mathbf{B}}_{\text{dR}}$ 是离散赋值域, 它的剩余域是 ${\mathbb{C}}_p$. Hodge–Tate 周期环 ${\mathbf{B}}_{\text{HT}}$ 是$$\underset{n\in \mathbb{Z}}{⨁}{\mathbb{C}}_p(n).$$它作为环同构于多项式环 ${\mathbb{C}}_p[T]$, 只是绝对 Galois 群的作用不同.

此外, $p$ 进复数还有一些有趣的性质.

命题 2.3. $p$ 进复数作为域同构于复数域 $\mathbb{C}$.

命题 2.4. $p$ 进复数不是球完备的, 即一族球的降链之交可以为空.

术语翻译

$p$ 进复数 • 英文 $p$-adic complex number • 德文 $p$-adische komplexe Zahl • 法文 nombre complexe $p$-adique • 拉丁文 numerus complexus $p$-adicus • 古希腊文 $\pi$-αδικὸς μιγαδικὸς ἀριθμός