p 进周期环

$\mathbf{p}$ 进周期环是复代数几何中周期环的类比, 这些环在 $p$ 进几何中有广泛应用. 在 $p$ 进 Hodge 理论中它们用来建立不同上同调间的比较定理, 而在 $p$ 进 Galois 表示论在它们用来将复杂的 Galois 表示转化为一些较简单的对象, 例如 $F$-有理晶体.

从前沿的角度来看, $p$ 进周期环就是完美棱镜 $A_{\text{inf}}$ 的某些局部化与完备化, 而以 $A_{\text{inf}}$ 为基的棱镜上同调可以联系所有上同调, 因此它们能够用来建立不同上同调的比较定理也就不足为奇.

1动机

在复代数几何中, 周期是在数域上紧合光滑代数簇的 代数 de Rham 上同调与奇异上同调的比较定理中出现的超越数. 例如对于 $\mathbb{Q}$ 上的一维射影空间 ${\mathbb{P}}^1$, 虽然奇异上同调 $H^2({\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^1,\mathbb{Q})$ 与 de Rham 上同调 $H_{\text{dR}}^2({\mathbb{P}}^1/\mathbb{Q})$ 均是一维 $\mathbb{Q}$-向量空间, 但二者却不典范同构. 事实上, 由积分诱导的映射$$H_2({\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^1,\mathbb{Q})\times H_{\text{dR}}^2({\mathbb{P}}^1/\mathbb{Q})\to \mathbb{C}$$之像为 $2\pi \mathrm{i}\mathbb{Q}$, 因此二者比较定理应陈述为$$H^2({\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^1,\mathbb{Q})\otimes \mathbb{Q}[(2\pi \mathrm{i}{)}^{\pm 1}]\simeq H_{\text{dR}}^2({\mathbb{P}}^1/\mathbb{Q})\otimes \mathbb{Q}[(2\pi \mathrm{i}{)}^{\pm 1}].$$这里 $2\pi \mathrm{i}$ 即是 ${\mathbb{P}}^1$ 的周期, 而周期环则是 $\mathbb{Q}$ 添加所有周期得到的环.

在 $p$ 进几何中, 人们也寻求平展上同调、晶体上同调、代数 de Rham 上同调等上同调的比较定理. 具体地说, 对紧合光滑形式概形 $\mathfrak{X}/{\mathbb{Z}}_p$, 有以下三种上同调理论:

•	$\mathfrak{X}$ 的几何一般纤维 ${\mathfrak{X}}_{\bar{\eta }}$ 的平展上同调 $H_{\text{eˊt}}^{\ast }({\mathfrak{X}}_{\bar{\eta }},{\mathbb{Z}}_p)$.

•	$\mathfrak{X}$ 的代数 de Rham 上同调 $H_{\text{dR}}^{\ast }(\mathfrak{X}/{\mathbb{Z}}_p)$.

•	$\mathfrak{X}$ 的特殊纤维 $\bar{\mathfrak{X}}$ 的晶体上同调 $H_{\text{crys}}^{\ast }(\bar{\mathfrak{X}}/{\mathbb{Z}}_p)$.

虽然这三者均是秩相同的 ${\mathbb{Z}}_p$-模, 它们却带有不同的附加结构: 平展上同调带有 Galois 群 $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ 作用, 晶体上同调带有 Frobenius 作用, 代数 de Rham 上同调则带有滤链, 人们希望得到与这些结构相容的比较定理. 与之前复代数几何的情况相同, 需要考虑比 ${\mathbb{Q}}_p$ 结构丰富很多, 同时含有以上几种结构的环, 这些环就是 $p$ 进周期环. 例如, 在下面的平展–晶体比较定理中就出现了晶体周期环 $B_{\text{crys}}$, 它同时有 Galois 群作用和 Frobenius 作用.

$$H_{\text{eˊt}}^{\ast }({\mathfrak{X}}_{\bar{\eta }},{\mathbb{Z}}_p)\otimes B_{\text{crys}}\simeq H_{\text{crys}}^{\ast }(\bar{\mathfrak{X}}/{\mathbb{Z}}_p)\otimes B_{\text{crys}}$$

2列举

以下列举了常见的 $p$ 进周期环, 每种周期环的具体性质请参见相应条目.

•	基本构造 $A_{\text{inf}}$, $B_{\text{inf}}$.

•	晶体周期环 $A_{\text{crys}}$, $B_{\text{crys}}^{+}$, $B_{\text{crys}}$, 它们可以联系平展上同调和晶体上同调.

•	de Rham 周期环 $B_{\text{dR}}^{+}$, $B_{\text{dR}}$, 它们可以联系平展上同调和代数 de Rham 上同调.

•	半稳定周期环 $B_{\text{st}}$, 它可以联系平展上同调和对数晶体上同调.

术语翻译

$p$ 进周期环 • 英文 $p$-adic period ring • 法文 anneau des periodes $p$-adiques