超越数

超越数指不是代数数的复数. 换言之, 如果一个数不是任何一个整系数代数方程的根, 它即是超越数. 比较常见的超越数是 $\mathrm{e}$ 以及 $\pi$.

1定义

定义 1.1. 称复数 $x$ 是超越数, 如果对任何整数 $a_n,a_{n-1},\cdots ,a_1,a_0$, 其中 $a_n\ne 0$, 都有$$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0\ne 0.$$

2性质

Liouville 定理

定理 2.1 (Liouville 定理). 设 $\alpha$ 为实数. 如果对于所有的正实数 $c$ 和正整数 $d$, 都存在一个有理数 $p/q$, 使得$$\left|\alpha -\frac{p}{q}\right|\le \frac{c}{q^d},$$那么 $\alpha$ 为超越数.

满足 Liouville 定理的数被称为 Liouville 数. Liouville 数是第一类被证明为超越数的数. 然而, $\pi$ 和 $e$ 都不是 Liouville 数.

Hilbert 第七问题

定理 2.2 (Gelfond–Schneider). 对于非零、非一的代数数 $a$ 和无理代数数 $b$, $a^b$ 一定为超越数.

此问题由 Hilbert 在 1900 年提出, 称为 Hilbert 第七问题, 属于 Hilbert 的 23 个问题. 在 1934 年被 Gelfond 和 Schneider 解决了, 称为 Gelfond–Schneider 定理, 并且在 19 世纪 60 年代被 Alan Baker 拓广了.

3例子

•	$\mathrm{e}$ 和 $\pi$ 是超越数.
•	${\sum }_{n=0}^{\infty }1/10^{n!}$ 是超越数, 由上述 Liouville 定理.
•	${\mathrm{e}}^{\pi }=(-1{)}^{-\mathrm{i}}$ 是超越数, 由上述 Hilbert 第七问题.
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术语翻译

超越数 • 英文 transcendental number • 德文 transzendente Zahl • 法文 nombre transcendant • 拉丁文 numerus transcendens • 古希腊文 ὑπερβατικὸς ἀριθμός