e

实数 $\mathrm{e}\in \mathbb{R}$ (有时称为 Euler 数) 是指数函数 $\exp$ 在 $1$ 处的取值, 其近似值为$$\mathrm{e}=2.71828182845904523536\dots$$

1定义

通过指数函数

指数函数 $\exp :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 定义为以下常微分方程的初值问题的解:$$\{\begin{array}{ll}{\exp }^{\prime }(x)=\exp (x),& x\in \mathbb{R},\\ \exp (0)=1.& \end{array}$$指数函数也可以由如下的幂级数给出:$$\exp (x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}.$$

定义 1.1 ($\mathrm{e}$). 我们定义$$\mathrm{e}=\exp (1)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}.$$

通过数列极限

另一个常见的定义是通过数列的极限得到的, 即

定义 1.2 ($\mathrm{e}$). 极限 $$\mathrm{e}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$$

2性质

无理性

(...)

超越性

(...)