π

实数 $\pi \in \mathbb{R}$ (称为圆周率, 又称 Archimedes 常数) 是圆的周长和其直径的比值, 也是圆的面积和其半径平方的比值, 其近似值为$$\pi =3.14159265358979323846\dots$$

$\pi$ 不仅是无理数, 也是超越数.

记号 $\pi$ 起源于 18 世纪, 来自古希腊文 περιφέρεια (periphéreia, 周长) 的首字母.

1定义

原始定义

定义 1.1. $\pi$ 定义为单位圆周的长度的一半. 这个长度的表达式是$$\pi ={\int }_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$$

通过三角函数

$\pi$ 也可以通过正弦函数的零点来定义. 正弦函数 $\sin :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 定义为以下常微分方程的初值问题的解:$$\{\begin{array}{ll}{\sin }^{\prime \prime }(x)+\sin (x)=0,& x\in \mathbb{R},\\ \sin (0)=0,& \\ {\sin }^{\prime }(0)=1.& \end{array}$$正弦函数也可以由如下的幂级数给出:$$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}.$$

定义 1.2. $\pi$ 是使得 $\sin x=0$ 的最小的正实数 $x$.

注 1.3. 定义 1.2 等价于 $\pi$ 的原始意义 (定义 1.1), 因为函数 $1/\sqrt{1-x^2}$ 的不定积分是反正弦函数 $\arcsin$.

2性质

无理性

证明. 假设写成 $\pi =a/b;a,b\in \mathbb{Z}$. 对正整数 $n$ 定义

$$\begin{array}{rl}& f_n(x):=\frac{x^n(a-bx{)}^n}{n!},\\ & F_n(x):=f_n(x)-f_n^{(2)}(x)+f_n^{(4)}(x)-\cdots +(-1{)}^n{f}_n^{(2n)}(x).\end{array}$$

简单计算得出

$$\frac{d}{dx}(F_n^{\prime }(x)\sin x-F_n(x)\cos x)=(F_n^{\prime \prime }(x)+F_n(x))\sin x=f_n(x)\sin x.$$

注意 $f_n$ 的不超 $n-1$ 次之导数在 $x=0$ 取 $0$, $n$ 次开始导数都是整系数多项式, 因此 $F_n$ 在 $x=0$ 整值, $x=\pi$ 由对称性亦然.

$${\int }_0^{\pi }{f}_n(x)\sin xdx=F_n^{\prime }(x)\sin x-F_n(x)\cos x{|}_0^{\pi }=F_n(\pi )+F_n(0)\in \mathbb{Z}.$$

但是 $0<x<\pi$ 时有

$$0<f_n(x)\sin x<\frac{{\pi }^n{a}^n}{n!}.$$

这样构造了一列正值趋于 $0$ 的整数而矛盾.

$\square$

超越性

由 Lindemann–Weierstraß 定理得出 $\pi$ 是超越数.

有理逼近

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