正弦函数

正弦函数 $\sin :\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 是三角函数中的一个. 对复数 $x\in \mathbb{C}$ 而言, 复数 $\sin (x)\in \mathbb{C}$ 称为 $x$ 的正弦.

1定义

正弦函数有数种不同的定义方式. 可以证明, 它们在其定义范围的公共部分是等价的.

通过直角三角形

锐角的正弦 (以及其他三角函数) 可以通过直角三角形定义.

定义 1.1. 设 $\alpha$ 是锐角. 作直角三角形 $ABC$ 使得角 $A=\alpha$, 且角 $C$ 是直角. 这样, 定义 $\sin (\alpha )$ 等于它的对边与斜边的比, 即$$\sin (\alpha )=\frac{BC}{AB}.$$

这个定义利用了一个直角三角形. 因为所有可能作出的三角形都是相似的, 所以依据这个定义得到的 $\sin (\alpha )$ 与直角三角形的作法无关.

通过单位圆

实数集上的正弦函数 $\sin :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 可以借助单位圆来定义.

定义 1.2. 设 $\alpha \in \mathbb{R}$ . 在平面直角坐标系中, 将 $x$ 轴正半轴这条射线绕坐标原点逆时针旋转 $\alpha$ 弧度, 得到的这条射线交单位圆于一点. 设这点的坐标是 $(x,y)$ , 则定义$$\sin (\alpha )=y.$$

通过常微分方程

定义 1.3. 正弦函数 $\sin :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 定义为下述常微分方程的初值问题的唯一解: $$\{\begin{array}{ll}{\sin }^{\prime \prime }(x)+\sin (x)=0,& x\in \mathbb{R},\\ \sin (0)=0,& \\ {\sin }^{\prime }(0)=1.& \end{array}$$

通过幂级数

定义 1.4. 复数集上的正弦函数 $\sin :\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 由如下的幂级数给出: $$\sin (z)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{z}^{2n+1}.$$

这个幂级数在整个复数集上收敛.

2性质

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术语翻译

正弦 • 英文 sine • 德文 Sinus (m) • 法文 sinus (m)

正弦函数 • 英文 sine function • 德文 Sinusfunktion (f) • 法文 fonction sinus (f)