赋值

约定. 在本文中,

• 所有环均指交换环

赋值为环的每个元素对应全序群中的元素, 以表示它们的 “大小”, 从而在配有赋值的环上可以定义拓扑.

从代数–几何对偶的角度来看, 环是空间的函数环, 域是空间的有理函数域. 环或域上的赋值可以视为相应空间中的 “点”, 而全体赋值则构成的赋值谱则视为此空间. 例如, 对素数 $p$ (它是整数的素谱中的点), 有理数 $\mathbb{Q}$ 上的函数

$$v_p:\mathbb{Q}\to \mathbb{Z}\cup \{\infty \}$$

($v_p(q)$ 是最大的的自然数 $n$, 满足 $p^n$ 整除 $q$ ) 是 $\mathbb{Q}$ 上的 (加性) 赋值. 这种看法在 $p$ 进几何中很常用, 因为环的极大理想或素理想给出的点经常不够多.

1定义

基本定义

有以下两种常见的赋值概念, 它们完全等价, 只是有时用某种方法叙述可能更方便. 在行文中, 以 $v$ 表示的默认为加性赋值, 以 $|\cdot |$ 表示的默认为乘性赋值.

定义 1.1 (加性赋值). 对全序群 $(\Gamma ,+,0)$ 和环 $R$, $R$ 以 $\Gamma$ 为值群的加性赋值是映射$$v:R\to \Gamma \cup \{\infty \}$$这里 $\infty$ 是一个元素, 它比 $\Gamma$ 的所有元素都大. 满足条件

•	$v(0)=\infty$, $v(1)=0$.
•	对任意 $a,b\in R$, $v(ab)=v(a)+v(b)$.
•	对任意 $a,b\in R$, $v(a+b)\ge \min \{v(a),v(b)\}$.
•	它的像生成 $\Gamma$.

定义 1.2 (乘性赋值). 对全序群 $(\Gamma ,\times ,1)$ 和环 $R$, $R$ 以 $\Gamma$ 为值群的乘性赋值, 也称为范数是映射$$|\cdot |:R\to \Gamma \cup \{0\}$$这里 $0$ 是一个元素, 它比 $\Gamma$ 的所有元素都小. 满足条件

•	$|0|=0$, $|1|=1$.
•	对任意 $a,b\in R$, $|ab|=|a||b|$.
•	对任意 $a,b\in R$, $|a+b|\le \max \{|a|,|b|\}$.
•	它的像生成 $\Gamma$.

可以看出, 将加性赋值取相反数, 并将加法群视为乘法群, 就得到乘性赋值. 反之亦然.

定义 1.3 (核). 环 $R$ 的乘性赋值 $|\cdot |$ 的核是$$\ker |\cdot |=\{x\in R\mid |x|=0\}.$$可以验证它是 $R$ 的素理想. 对加性赋值, 将 $0$ 改为 $\infty$ 即可.

域的赋值

环的赋值并不等价于赋值环, 事实上后者等价于域的赋值.

定义 1.4. 设有域 $K$ 上的乘性赋值 $|\cdot |$, 以 $\Gamma$ 为值群. 它的整数环是子集$$K^{\circ }=\{x\in K\mid |x|\le 1\}.$$可以验证它是以 $\Gamma$ 为值群的赋值环, 此环的极大理想是$$K^{\circ \circ }=\{x\in K\mid |x|<1\}.$$

反过来, 赋值环可以诱导它的分式域到它的值群的赋值.

连续赋值

如果环本身带有拓扑, 可以谈论赋值与拓扑的相容性.

定义 1.5 (连续赋值). 对拓扑环 $A$, 如赋值 $|\cdot |:A\to \Gamma \cup \{0\}$ 满足对任意 $\gamma \in |A|$, $\{x\in A\mid |x|<\gamma \}$ 为开集, 则称 $|\cdot |$ 为 $A$ 的连续赋值.

2例子

•	对任意整环, 将它的非零元素都映到单位元的映射是赋值, 称为它的平凡赋值.

•	$\mathbb{Q}$ 的赋值 (在同构意义下) 为上述平凡赋值, 或引言中所述之 $v_p$, 这些分别对应于整数的素谱 $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ 的一般点和闭点.

•	考虑赋予 $p$ 进拓扑的环 ${\mathbb{Z}}_p$, 则平凡赋值并不连续: $\{x\in {\mathbb{Z}}_p\mid |x|<1\}=\{0\}$ 不为开集. ${\mathbb{Z}}_p$ 的连续赋值在同构意义下只有两个: 一个由 ${\mathbb{F}}_p$ 的平凡赋值沿着 ${\mathbb{Z}}_p\to {\mathbb{F}}_p$ 拉回诱导, 另一个就是引言中所述之 $v_p$. 事实上它们分别是进制谱 $\mathrm{Spa}({\mathbb{Z}}_p,{\mathbb{Z}}_p)$ 的闭点和一般点.

...

3相关概念

•

赋值谱

术语翻译

赋值 • 英文 valuation • 德文 Bewertung (f) • 法文 valuation (f) • 拉丁文 valitatio (f) • 古希腊文 ἐκτίμησις (f)