离散赋值环

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

离散赋值环 (一些文献中简称 DVR) 是一类特殊的局部环, 简单程度仅次于域. 它是 Dedekind 整环的局部对应物.

1定义

命题 1.1. 对局部环 $(R,\mathfrak{m})$, 以下条件等价:

1.	$R$ 是赋值环, 值群为 $\mathbb{Z}$.
2.	$R$ 是 Noether 的赋值环, 且不是域.
3.	$R$ 是主理想整环且不是域.
4.	$R$ 是 Dedekind 整环且不是域.
5.	$R$ 是一维正则环.
6.	$R$ 是 Noether 整环, $\mathfrak{m}$ 是主理想, 且不是域.
7.	$R$ 是整闭的一维 Noether 整环.

证明. 这里 7 显得最弱, 先写一个从它推出去的. 以 $K$ 记 $R$ 的分式域.

任取非零元 $x\in \mathfrak{m}$. 由于 $R$ 是整环, $x$ 为非零因子, 故 $\dim (R/x)=0$, $R/x$ 为 Artin 环. 取其极小非零理想中的非零元 $\bar{y}$, 则由于 $\bar{y}\bar{\mathfrak{m}}⫋(\bar{y})$, $\bar{y}\bar{\mathfrak{m}}=0$. 取其在 $R$ 中原像 $y$, 则 $y\notin (x)$ 而 $y\mathfrak{m}\subseteq (x)$. 于是考虑理想 $x^{-1}y\mathfrak{m}\subseteq R$. 如果 $x^{-1}y\mathfrak{m}\subseteq \mathfrak{m}$, 那么对 $x^{-1}y\in K$ 用整同态命题 2.2 的第 4 条, 知 $x^{-1}y$ 在 $R$ 上整. 由 $R$ 整闭, $x^{-1}y\in R$, $y\in (x)$, 与 $y$ 的取法矛盾. 所以只有 $x^{-1}y\mathfrak{m}=R$. 于是 $\mathfrak{m}=Rx{y}^{-1}$, 即 $\mathfrak{m}=(x{y}^{-1})$ 是主理想.

$\square$

定义 1.2. 满足以上等价条件的局部环 $R$ 称为离散赋值环. 极大理想的生成元称为其素元.

2例子

3性质

离散赋值环中理想和元素都十分简单.

命题 3.1. $(R,\mathfrak{m})$ 是离散赋值环, $\pi$ 是其素元. 则 $R$ 中非零理想都形如 $({\pi }^n)$, $n\in \mathbb{N}$; 非零元都形如 $u{\pi }^n$, $u\in R^{\times }$, $n\in \mathbb{N}$.

命题 3.2 (与 Dedekind 环的关系). 一个整环是 Dedekind 环, 当且仅当其每个素理想处局部环都是离散赋值环或者是域.

此外还有类似赋值环中推论 3.2 的命题:

命题 3.3. 设 $A$ 是 Noether 环, $\mathfrak{p}$ 是其一个素理想, $K$ 是域, $f:A\to K$ 是环同态. 则 $K$ 有包含 $f(A)$ 的离散赋值环 $R$ 满足 $f^{-1}({\mathfrak{m}}_R)=\mathfrak{p}$. 特别地, $(A,\mathfrak{p})$ 是 Noether 局部环时, 这相当于说任一环同态 $f:A\to K$ 都穿过一个到离散赋值环的局部同态.

4相关概念

术语翻译

离散赋值环 • 英文 discrete valuation ring • 德文 diskreter Bewertungsring • 法文 anneau de valuation discrète