唯一分解整环

约定. 在本文中,

唯一分解整环指任意非零元素都能唯一分解不可约元乘积的整环. 这里, 不可约元也就是不能进一步分解的元素. 例如, 整数环 是唯一分解整环, 这是由于算术基本定理: 每个正整数都能唯一写成素数的积. 又例如, 二次整数环 不是唯一分解整环, 因为在其中有而其中各因子都是不可约元.

1定义

定义 1.1.整环 唯一分解整环, 如果满足下列等价条件:

任意非零元素 都能写成的形式, 其中 单位, 且各 素元.

任意非零元素 都能写成的形式, 其中 单位, 且各 不可约元. 并且, 这种写法是唯一的: 若 是另一种写法, 则 , 且存在单位 , 使得 的重排.

在唯一分解整环中, 不可约元与素元是等价的概念. 因此, 上述定义中的两种分解实际上总是相同的, 且均满足定义中所述的唯一性.

这里, 使用相差单位意义下的唯一性是有必要的. 例如, 在整数环 中, 元素 可以写成 , 但它们本质上是同一种分解, 故仍然算作满足唯一性.

另外, 在唯一分解整环中, 非零、非单位的元素总是能写成 的形式, 其中 为素元、不可约元. 在上述定义中, 在乘积中加入单位 是为了使 为单位时也满足条件, 此时取 .

2例子

算术基本定理表明, 整数环 是唯一分解整环.

所有主理想整环都是唯一分解整环.

Auslander–Buchsbaum 定理, 正则局部环都是唯一分解整环.

3性质

等价刻画

命题 3.1.整环 而言, 如下条件都等价:

是唯一分解整环.

的任何非零理想都含有素元.

中不存在主理想组成的无限严格升链 (所谓严格指上一项是下一项的真子集) , 且存在 的一些素元组成的集合 使其生成的乘闭子集 满足 是唯一分解整环.

若整环 还是 Noether 环, 则还有:

命题 3.2. 对 Noether 整环 来说, 如下条件等价:

是唯一分解整环.

高度 的素理想都是主理想.

基本性质

命题 3.3. 对唯一分解整环 有:

任何不可约元都是素元.

任何两个元素都有最大公因子和最小公倍元.

整闭整环.

的任何局部化也是唯一分解整环.

上的多项式环 也是唯一分解整环.

命题 3.4. 对唯一分解整环 理想 , 若 作为 -投射模 是主理想.

证明. ...

由上面命题可以得到:

命题 3.5.正则唯一分解整环 , 上的幂级数环 也是唯一分解整环.

证明. ...

4相关概念

正则局部环

素元不可约元

代数数论

术语翻译

唯一分解整环英文 unique factorization domain (UFD)德文 faktorieller Ring (m)法文 anneau factoriel (m)日文 一意分解環