Dedekind 整环

Dedekind 整环是一种性质良好的交换环, 主要性质是理想的唯一分解性. 它是代数数论和代数曲线论中交换代数方面的根基.

1历史

Dedekind 整环的历史可以追溯到 19 世纪关于 Fermat 大定理的尝试. 当时法国数学家 Lamé 宣布了 Fermat 大定理的一个证明, 但是他的证明默认了 $\mathbb{Z}[{\zeta }_n]$ 是唯一分解整环. 这个陈述被 Kummer 举出了反例, 而 Kummer 为了修正这种方法引入了 “理想数” 以及理想数唯一分解的概念, 这就是理想和 Dedekind 整环的雏形. 而 Dedekind 随后引入理想的概念, 并且严格定义了 Dedekind 整环.

2定义

Dedekind 整环有很多等价定义:

定义 2.1. Dedekind 整环是满足如下等价定义的整环:

•	整闭, Krull 维数为 $1$ 的 Noether 环.
•	每个非零理想都可以唯一分解为素理想的乘积.
•	在每个素理想处的局部化都是离散赋值环的 Noether 环.
•	每个分式理想均可逆.

或者用同调代数的观点:

•	其上投射模的子模都是投射模.
•	其上的可除模都是内射模.

3例子

许多 Dedekind 整环都是从代数数论和代数曲线中来的, 比如:

•	设 $K$ 为数域, 则 $K$ 的整数环 ${\mathcal{O}}_K$ 是 Dedekind 整环: ∘ $\mathbb{Z}$; ∘ $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$, $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$.
•	设 $X$ 为一条光滑的仿射代数曲线, 则 $X$ 的坐标环 ${\mathcal{O}}_X(X)$ 是 Dedekind 整环: ∘ $k[x]$; ∘ $k[x,y]/(y^2-x^3-x)$.

4理想类群

对于 Dedekind 整环, 我们可以定义分式理想和理想类群. 类群用来衡量 Dedekind 整环是否是主理想整环, 以及与主理想整环到底相差多少.

定义 4.1. $R$ 上的分式理想群 ${\mathcal{I}}_R$ 是 $R$ 上的非零素理想形式上生成的自由 Abel 群.

定义 4.2. 记 $K$ 为 $R$ 的分式域, 注意 $K^{\times }$ 自然地嵌入到 ${\mathcal{I}}_R$. 定义 $R$ 的理想类群, 有时简称为类群, 通常记作 $\mathrm{Cl}R$, 为$$\mathrm{Cl}R={\mathcal{I}}_R/K^{\times }.$$特别地, 有正合列$$1\to {\mathcal{O}}_K^{\times }\to K^{\times }\stackrel{a\mapsto (a)}{⟶}{\mathcal{I}}_K\to \mathrm{Cl}K\to 1.$$在数域中, 我们通常简记为 ${\mathrm{Cl}}_K:=\mathrm{Cl}{\mathcal{O}}_K$.

以代数几何的角度来看, 分式理想群就是 $\mathrm{Spec}R$ 上的可逆层构成的群, 从而有同构:$$\mathrm{Pic}\mathrm{Spec}R\cong \mathrm{Cl}R.$$代数数论中一个关键的定理是:

定理 4.3 (类数有限性). 设 $K$ 是数域, 则 $\mathrm{Cl}K$ 是有限群.

而在代数曲线上类群就没有这么良好的性质了, 只不过性质也不差, 见 Picard 概形.

5Dedekind 整环的局部化

定理 5.1. 一般地, Dedekind 整环的局部化仍为 Dedekind 整环.

若取 $K$ 为一般数域. 记 $S$ 为 Dedekind 整环 ${\mathcal{O}}_K$ 上有限多个素理想生成的乘性子集, 定义局部化$${\mathcal{O}}_{K,S}:=S^{-1}{\mathcal{O}}_K=\left\{\frac{f}{g}\mid f,g\in {\mathcal{O}}_K,g\notin \mathfrak{p}(\forall \mathfrak{p}\subseteq S)\right\}.$$若用自然语言描述, 此处 ${\mathcal{O}}_{K,S}$ 恰包括 $K$ 中分母素理想分解仅出现 $S$ 中理想的元素. 对 Dedekind 整环 ${\mathcal{O}}_{K,S}$ 同样可以定义

定义 5.2 ($S$-单位). 称局部化 Dedekind 整环 ${\mathcal{O}}_{K,S}$ 中的乘法可逆元为单位, 并记相应的单位群为 ${\mathcal{O}}_{K,S}^{\times }$. 特别地, 称 ${\mathcal{O}}_{K,S}^{\times }$ 为 ${\mathcal{O}}_K$ 的 $S$-单位.

定义 5.3 ($S$-理想类群). 记 ${\mathrm{Cl}}_{K,S}$ 为 ${\mathcal{O}}_{K,S}$ 的理想类群, 或称 ${\mathcal{O}}_K$ 的 $S$-理想类群.

特别地, 有典范正合列

命题 5.4 ($S$-类群中典范正合列). $$1\to {\mathcal{O}}_K^{\times }\to {\mathcal{O}}_{K,S}^{\times }\stackrel{\ast }{\to }{\mathbb{Z}}^{\#S}\stackrel{\star }{\to }{\mathrm{Cl}}_K\to {\mathrm{Cl}}_{K,S}\to 1.$$其中

•	$\#S$ 表示生成 $S$ 的素理想个数 (有限).
•	$\ast$ 处映射为 $x\mapsto (v_{\mathfrak{p}}(x){)}_{\mathfrak{p}\subseteq S}$, 即提出素理想分解中 $S$ 所含的各素理想分别占有的幂次.
•	$\star$ 处映射为 $(e_{\mathfrak{p}}{)}_{\mathfrak{p}\subseteq S}\mapsto {\prod }_{\mathfrak{p}\subseteq S}{\mathfrak{p}}^{e_{\mathfrak{p}}}$, 即按整数组 $(e_{\mathfrak{p}}{)}_{\mathfrak{p}\subseteq S}$ 给出 $S$ 中素理想的乘积.

根据 Dirichlet 单位定理, 自然有同构

命题 5.5 ($S$-单位结构). $${\mathcal{O}}_{K,S}^{\times }\cong {\mathcal{O}}_K\times {\mathbb{Z}}^{\#S}\cong {\mu }_K\times {\mathbb{Z}}^{r+s-1+\#S}$$其中 $r$ (相应地, $s$) 为 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Q}}(K,\mathbb{C})$ 中实嵌入的数量 (相应地, 复嵌入的对数).

直观上看, Dedekind 环的局部化无非是将有限个给定的非零素理想配上逆元.

6Dedekind 整环上的模

与主理想整环上有限生成模的结构定理类似, Dedekind 整环上的有限生成模也有很良好的性质. 具体来说, 就是:

定理 6.1. 设 $R$ 是 Dedekind 整环, $M$ 是有限生成 $R$-模, 秩为 $s$. 则唯一地$$M\cong \underset{i=1}{\overset{t}{⨁}}R/{\mathfrak{p}}_i^{n_i}\oplus R^{s-1}\oplus I.$$其中 ${\mathfrak{p}}_i$ 是 $R$ 中的非零素理想, $I$ 是分式理想. 当然 $s=0$ 时就没有后面两项直和. 这里 “唯一” 指的是 $I$ 在 $\mathrm{Cl}R$ 中的像由 $M$ 唯一决定.

推论 6.2. 设 $K_0$ 是 Grothendieck 群, 则对 Dedekind 整环 $R$ 有$$K_0(R)\cong \mathbb{Z}\oplus \mathrm{Cl}R.$$

术语翻译

Dedekind 整环 • 英文 Dedekind domain • 德文 Dedekindring • 法文 anneau de Dedekind