Dedekind 整环

Dedekind 整环是一种性质良好的交换环, 主要性质是理想的唯一分解性. 它是代数数论代数曲线论交换代数方面的根基.

1历史

Dedekind 整环的历史可以追溯到 19 世纪关于 Fermat 大定理的尝试. 当时法国数学家 Lamé 宣布了 Fermat 大定理的一个证明, 但是他的证明默认了 唯一分解整环. 这个陈述被 Kummer 举出了反例, 而 Kummer 为了修正这种方法引入了 “理想数” 以及理想数唯一分解的概念, 这就是理想和 Dedekind 整环的雏形. 而 Dedekind 随后引入理想的概念, 并且严格定义了 Dedekind 整环.

2定义

Dedekind 整环有很多等价定义:

定义 2.1. Dedekind 整环是满足如下等价定义的整环:

整闭, Krull 维数Noether 环.

每个非零理想都可以唯一分解为素理想的乘积.

在每个素理想处的局部化都是离散赋值环的 Noether 环.

每个分式理想均可逆.

或者用同调代数的观点:

其上投射模的子模都是投射模.

其上的可除模都是内射模.

3例子

许多 Dedekind 整环都是从代数数论和代数曲线中来的, 比如:

数域, 则 整数环 是 Dedekind 整环:

;

, .

为一条光滑的仿射代数曲线, 则 坐标环 是 Dedekind 整环:

;

.

4理想类群

对于 Dedekind 整环, 我们可以定义分式理想和理想类群. 类群用来衡量 Dedekind 整环是否是主理想整环, 以及与主理想整环到底相差多少.

定义 4.1. 上的分式理想群 上的非零素理想形式上生成的自由 Abel 群.

定义 4.2.分式域, 注意 自然地嵌入到 . 定义 理想类群, 有时简称为类群, 通常记作 , 为特别地, 有正合列在数域中, 我们通常简记为 .

以代数几何的角度来看, 分式理想群就是 上的可逆层构成的群, 从而有同构:代数数论中一个关键的定理是:

定理 4.3 (类数有限性). 是数域, 则 是有限群.

而在代数曲线上类群就没有这么良好的性质了, 只不过性质也不差, 见 Picard 概形.

5Dedekind 整环的局部化

定理 5.1. 一般地, Dedekind 整环的局部化仍为 Dedekind 整环.

若取 为一般数域. 记 为 Dedekind 整环 上有限多个素理想生成的乘性子集, 定义局部化若用自然语言描述, 此处 恰包括 中分母素理想分解仅出现 中理想的元素. 对 Dedekind 整环 同样可以定义

定义 5.2 (-单位). 称局部化 Dedekind 整环 中的乘法可逆元为单位, 并记相应的单位群为 . 特别地, 称 -单位.

定义 5.3 (-理想类群). 的理想类群, 或称 -理想类群.

特别地, 有典范正合列

命题 5.4 (-类群中典范正合列). 其中

表示生成 的素理想个数 (有限).

处映射为 , 即提出素理想分解中 所含的各素理想分别占有的幂次.

处映射为 , 即按整数组 给出 中素理想的乘积.

根据 Dirichlet 单位定理, 自然有同构

命题 5.5 (-单位结构). 其中 (相应地, ) 为 中实嵌入的数量 (相应地, 复嵌入的对数).

直观上看, Dedekind 环的局部化无非是将有限个给定的非零素理想配上逆元.

6Dedekind 整环上的模

主理想整环上有限生成模的结构定理类似, Dedekind 整环上的有限生成模也有很良好的性质. 具体来说, 就是:

定理 6.1. 是 Dedekind 整环, 是有限生成 -模, 秩为 . 则唯一地其中 中的非零素理想, 是分式理想. 当然 时就没有后面两项直和. 这里 “唯一” 指的是 中的像由 唯一决定.

术语翻译

Dedekind 整环英文 Dedekind domain德文 Dedekindring法文 anneau de Dedekind