Dedekind 整环
Dedekind 整环是一种性质良好的交换环, 主要性质是理想的唯一分解性. 它是代数数论和代数曲线论中交换代数方面的根基.
1历史
Dedekind 整环的历史可以追溯到 19 世纪关于 Fermat 大定理的尝试. 当时法国数学家 Lamé 宣布了 Fermat 大定理的一个证明, 但是他的证明默认了 是唯一分解整环. 这个陈述被 Kummer 举出了反例, 而 Kummer 为了修正这种方法引入了 “理想数” 以及理想数唯一分解的概念, 这就是理想和 Dedekind 整环的雏形. 而 Dedekind 随后引入理想的概念, 并且严格定义了 Dedekind 整环.
2定义
Dedekind 整环有很多等价定义:
3例子
许多 Dedekind 整环都是从代数数论和代数曲线中来的, 比如:
• |
| ||||
• | 设 为一条光滑的仿射代数曲线, 则 的坐标环 是 Dedekind 整环:
|
4理想类群
对于 Dedekind 整环, 我们可以定义分式理想和理想类群. 类群用来衡量 Dedekind 整环是否是主理想整环, 以及与主理想整环到底相差多少.
定义 4.1. 上的分式理想群 是 上的非零素理想形式上生成的自由 Abel 群.
定义 4.2. 记 为 的分式域, 注意 自然地嵌入到 . 定义 的理想类群, 有时简称为类群, 通常记作 , 为特别地, 有正合列在数域中, 我们通常简记为 .
定理 4.3 (类数有限性). 设 是数域, 则 是有限群.
5Dedekind 整环的局部化
定理 5.1. 一般地, Dedekind 整环的局部化仍为 Dedekind 整环.
若取 为一般数域. 记 为 Dedekind 整环 上有限多个素理想生成的乘性子集, 定义局部化若用自然语言描述, 此处 恰包括 中分母素理想分解仅出现 中理想的元素. 对 Dedekind 整环 同样可以定义
定义 5.2 (-单位). 称局部化 Dedekind 整环 中的乘法可逆元为单位, 并记相应的单位群为 . 特别地, 称 为 的 -单位.
定义 5.3 (-理想类群). 记 为 的理想类群, 或称 的 -理想类群.
命题 5.4 (-类群中典范正合列). 其中
• | 表示生成 的素理想个数 (有限). |
• | 处映射为 , 即提出素理想分解中 所含的各素理想分别占有的幂次. |
• | 处映射为 , 即按整数组 给出 中素理想的乘积. |
根据 Dirichlet 单位定理, 自然有同构
命题 5.5 (-单位结构). 其中 (相应地, ) 为 中实嵌入的数量 (相应地, 复嵌入的对数).
直观上看, Dedekind 环的局部化无非是将有限个给定的非零素理想配上逆元.
6Dedekind 整环上的模
与主理想整环上有限生成模的结构定理类似, Dedekind 整环上的有限生成模也有很良好的性质. 具体来说, 就是:
定理 6.1. 设 是 Dedekind 整环, 是有限生成 -模, 秩为 . 则唯一地其中 是 中的非零素理想, 是分式理想. 当然 时就没有后面两项直和. 这里 “唯一” 指的是 在 中的像由 唯一决定.
推论 6.2. 设 是 Grothendieck 群, 则对 Dedekind 整环 有
术语翻译
Dedekind 整环 • 英文 Dedekind domain • 德文 Dedekindring • 法文 anneau de Dedekind