一般点

一般点是代数几何中的概念, 首先由意大利学派引入, 以描述代数簇中 “绝大多数点” 的性质. 在现代的代数几何语言中, 它是概形底拓扑空间中的一个点, 使得如果这个点满足某些性质, 那么它的闭包的某个非空开集中的点均满足这一性质.

1定义

定义 1.1 (一般点).

•	拓扑空间中的点称为一般点, 如果它的闭包是此空间的一个不可约分支.

•	概形 $S$ 中的点称为一般点, 如果它在底拓扑空间中是一般点.

•	概形中的任意点 $s$ 被称为它的闭包的一般点.

2性质

原理 2.1. 在合适的有限性条件下, 如果某条性质对一般点正确, 那么它对这个一般点的闭包的某个开集中的所有点均正确.

注 2.2. 这条原理是过渡到极限原理的一个特例, 事实上, 对概形 $S$ 中的一般点 $s$, 有$${\mathcal{O}}_{S,s}=\underset{U\ni s}{\lim }{\mathcal{O}}_U.$$其中 $U$ 取遍包含 $s$ 的开集, 由一般点的性质, 它是 $s$ 的闭包的某个开集. 则对 ${\mathcal{O}}_{S,s}$ 成立的某性质必然对某个 ${\mathcal{O}}_U$ 成立.

下面一些结论是这一原理的特例:

命题 2.3. 对整概形 $S$ 上的凝聚层 $\mathcal{M}$, $\mathcal{M}$ 限制在某个 $S$ 的开集上是自由层.

命题 2.4. 对 Noether 整概形 $S$ 和有限型态射 $X\to S$, 其在 $S$ 的某个开集上的限制平坦.

命题 2.5. 对 Noether 整概形 $S$ 和有限态射 $X\to S$, 其在 $S$ 的某个开集上的限制平展.

3例子

•	整环 $A$ 的素理想 $0$ 在 $\mathrm{Spec}(A)$ 中是一般点.
•	Noether 概形含有有限个一般点.

4相关概念

•	闭点
•	过渡到极限
•	特殊化

术语翻译

一般点 • 英文 generic point • 德文 generischer Punkt (m) • 法文 point générique (m) • 拉丁文 punctus genericus (m) • 古希腊文 γενικὸν σημεῖον (n)