有限态射

代数几何中, 有限态射指局部上是有限同态的概形态射.

1定义

定义 1.1. 称概形态射 $f:X\to Y$ 有限, 指的是存在 $Y$ 的仿射开覆盖 $Y={\bigcup }_i{V}_i$, $V_i=\mathrm{Spec}{B}_i$, 满足 $f^{-1}(V_i)=\mathrm{Spec}{A}_i$, 其中 $A_i$ 是有限 $B_i$-代数.

2性质

命题 2.1. $f:X\to Y$ 是有限态射, 当且仅当对 $Y$ 的任意仿射开子集 $V=\mathrm{Spec}B$, 都有 $f^{-1}(V)=\mathrm{Spec}A$, 其中 $A$ 是有限 $B$-代数.

命题 2.2.

•	闭浸入是有限态射.
•	有限态射的复合还是有限态射.
•	有限态射的基变换还是有限态射.

以下刻画来自泛闭态射的性质.

定理 2.3. $f:X\to Y$ 有限, 当且仅当 $f$ 仿射、紧合.

以下刻画来自 Zariski 主定理.

定理 2.4. $f:X\to Y$ 有限, 当且仅当 $f$ 拟有限、紧合.

3例子

•	$\mathrm{Spec}k[x,t]/(x^n-t)\to \mathrm{Spec}k[t]$ 是有限态射.
•	$\mathrm{Spec}k[y,y^{-1}]\to \mathrm{Spec}k[y]$ 是拟有限态射但不有限. 一般地, 开浸入不会有限, 除非它也是闭浸入. 这是因为由上一节所述, 有限态射紧合, 特别地总是闭映射.
•	${\mathbb{A}}_S^n\to S$ 和 ${\mathbb{P}}_S^n\to S$ 都不是有限态射 ($n\ge 1$).

4相关概念

•	拟有限态射
•	有限型态射

术语翻译

有限态射 • 英文 finite morphism • 德文 endlicher Morphismus • 法文 morphisme fini • 拉丁文 morphismus finitus • 古希腊文 πεπερασμένος μορφισμός