平展态射

在代数几何中, 平展态射是一类概形态射, 是指看起来像是微分几何中, 流形之间局部微分同胚的态射.

例如, 考虑态射 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, 定义为$$f(z)=z^2.$$若考虑 $\mathbb{C}$ 的通常拓扑, 而非 Zariski 拓扑, 则可以发现, $f$ 除了在 $z=0$ 之外, 在其余所有点都是局部微分同胚; 点 $z=0$ 是 $f$ 的分歧点. 在代数几何中, 我们说 $f{|}_{\mathbb{C}\setminus \{0\}}$ 是平展态射. 若从定义域中再去除有限个点, $f$ 也仍然平展.

然而, 在 Zariski 拓扑下, 上述态射 $f$ 在任何点都不是局部同胚, 因为该拓扑太粗, 也就是说开集太少. 为了解决这一问题, 可以引入平展拓扑, 即允许任何平展态射作为概形的局部坐标. 在平展拓扑下, 某些现象更贴近微分几何的直观.

在代数–几何对偶下, 平展态射对应于环的平展同态.

1定义

定义 1.1. 设 $X,Y$ 为概形, $f:X\to Y$ 为概形态射. 称 $f$ 为平展态射, 如果以下等价条件成立.

1.	$f$ 平坦、非分歧.
2.	$f$ 光滑、非分歧.
3.	$f$ 光滑, 相对维数为 $0$.
4.	对任意 $x\in X$, 存在仿射开集 $x\in U\simeq \mathrm{Spec}A$ 及 $f(x)\in V\simeq \mathrm{Spec}R$, 使得 $f(U)\subset V$, 且诱导的环同态 $R\to A$ 是平展同态.
5.	对任意仿射开集 $U\simeq \mathrm{Spec}A\subset X$ 及 $V\simeq \mathrm{Spec}R\subset Y$, 若 $f(U)\subset V$, 则诱导的环同态 $R\to A$ 是平展同态.
6.	$f$ 局部有限表现、形式平展.
7.	$f$ 平坦、局部有限表现, 且对任意 $y\in Y$, 纤维 $X_y$ 是若干离散点, 每个点是剩余域 $\kappa (y)$ 的一个有限可分扩张的素谱.
8.	$f$ 平坦、局部有限表现, 且对任意 $y\in Y$, 几何纤维 $X_{\overline{y}}$ 是若干离散点, 每个点都同构于 $\mathrm{Spec}\overline{\kappa (y)}$, 其中 $\overline{\kappa (y)}$ 是剩余域 $\kappa (y)$ 的代数闭包.

2性质

3相关概念

•	平展景
•	平展上同调

术语翻译

平展态射 • 英文 étale morphism • 法文 morphisme étale (m)