有限扩张

有限扩张是一类域扩张, 其中大域作为小域上的线性空间为有限维.

1定义

定义 1.1. 域扩张 $K/k$ 称为有限扩张, 指 $[K:k]<\infty$. 这里 $[K:k]$ 表示次数, 即 $K$ 作为 $k$-线性空间的维数.

2性质

命题 2.1 (传递性). $L/K$, $K/k$ 都是有限扩张, 则 $L/k$ 也是, 且 $[L:K][K:k]=[L:k]$.

证明. $[L:K][K:k]=[L:k]$ 这一事实是一般的, 参见域扩张. 由此立得有限扩张具有传递性.

$\square$

命题 2.2. 设 $K/k$ 为域扩张, $E/k$, $F/k$ 为其子扩张. 如 $E/k$ 有限, 则 $EF/F$ 有限, 且 $[EF:F]\le [E:k]$.

证明. 对 $[E:k]$ 归纳. $[E:k]=1$ 时为显然. $[E:k]>1$ 时取 $a\in E\setminus k$, 则 $[E:k(a)]<[E:k]$. 对 $E/k(a)$, $F(a)/k(a)$ 用归纳假设, 知 $[EF:F(a)]\le [E:k(a)]$, 只剩下证明 $[F(a):F]\le [k(a):k]$. 两边分别是 $a$ 在 $F$ 和 $k$ 上极小多项式的次数, 由于 $F\supseteq k$, 显然左边小于等于右边.

$\square$

命题 2.3. 有限扩张是代数扩张.

证明. 对有限扩张 $K/k$, 取 $a\in K$, 要证明 $a$ 在 $k$ 上代数. 记 $n=[K:k]$, 则 $1,a,\dots ,a^n$ 为 $K$ 上 $n+1$ 个元素, 由线性代数, 它在 $k$ 上线性相关. 把线性相关式写出来即得 $a$ 在 $k$ 上代数.

$\square$

3相关概念

•	代数扩张
•	迹
•	范数

术语翻译

有限扩张 • 英文 finite extension