正规扩张

正规扩张是一类代数扩张. 它是满足在共轭下不变的扩张. 具体而言, 假设 $K/k$ 是代数扩张, 对 $a\in K$, $a$ 的极小多项式的其他根 (在代数闭域 $\bar{k}$ 里) 称为 $a$ 的共轭, 而正规扩张要求所有共轭都在 $K$ 中.

1定义

定义 1.1 (正规扩张). 设 $K/k$ 是代数扩张. 若对任意 $a\in K$, $a$ 的极小多项式在 $K$ 上能写成一次项的乘积, 则称 $K/k$ 是正规扩张.

2性质

命题 2.1. 设 $L/K$ 是域扩张, $K/F$ 是正规扩张. 设 $\sigma :L\to L$ 是自同构且 $F$-线性. 则 $\sigma (K)=K$.

证明. 设 $a\in K$, $f$ 是 $a$ 的极小多项式. 容易验证$$f(\sigma (a))=\sigma (f(a))=0$$故 $\sigma (a)\in K$.

$\square$

术语翻译

正规扩张 • 英文 normal extension • 德文 normale Erweiterung • 法文 extension normale • 拉丁文 extensio normalis • 古希腊文 γνωμονικὴ ἐπέκτασις