有理数

有理数是指形如 $m/n$ 的数, 其中 $m,n$ 均为整数, 且 $n\ne 0$. 有理数和分数是同义词, 其唯一区别在于有理数更强调这个数本身, 分数则更强调 $m/n$ 这个形式.

所有有理数的集合记为 $\mathbb{Q}$, 它上面同时有代数结构, 拓扑结构, 序结构.

1定义

定义 1.1 (有理数). 有理数是 $\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}-\{0\})$ 在如下等价关系下的等价类: $(a,b)$ 和 $(c,d)$ 等价当且仅当 $ad=bc$. $(a,b)$ 所在的等价类记为 $a/b$ 或 $\frac{a}{b}$.

域结构

定义 1.2 (四则运算). 有理数的加法定义为 $a/b+c/d=(ad+bc)/(bd)$; 有理数的乘法定义为 $(a/b)\cdot (c/d)=(ac)/(bd)$.

对有理数 $a/b$, 它的相反数定义为 $-a/b=(-a)/b$; 如果 $a\ne 0$, 它的倒数定义为 $b/a$. 有理数的减法和除法分别定义为加上相反数和乘以倒数.

定义 1.3. 有理数域 $\mathbb{Q}$ 是有理数在上述运算下构成的域. 它是整数环 $\mathbb{Z}$ 的分式域.

序结构

定义 1.4 (序结构). 有理数上有自然的全序结构, 即$$\frac{p}{q}\le \frac{r}{s}⟺p{s}^{2}q\le r{q}^{2}s.$$这里不能约去两边的 $s,q$, 因为它们可能是负数. 此时它与上述域结构一起赋予了有理数序域结构.

有理数的序结构有很强的唯一性:

定理 1.5. 任何可数稠密无端点全序都同构于有理数的序.

强调序结构时, 将有理数记作 $\mathbf{\eta }$.

拓扑结构

$\mathbb{Q}$ 带有以下几种常见的拓扑, 使它与域结构下成为拓扑域.

Archimedes 拓扑

$\mathbb{Q}$ 的 Archimedes 拓扑是由距离函数 $d(x,y)=|x-y|$ 诱导的拓扑, 它同时也是上述序结构诱导的序拓扑. $\mathbb{Q}$ 关于这个拓扑的完备化是实数域 $\mathbb{R}$.

$p$ 进拓扑

对素数 $p$ 而言, $\mathbb{Q}$ 的 $\mathbf{p}$ 进拓扑是由距离函数 $d_p(x,y)=p^{-n}$ 诱导的拓扑, 其中 $n$ 是 $x-y$ 的素因子分解中 $p$ 的次数. $\mathbb{Q}$ 关于这个拓扑的完备化是 $p$ 进数域 ${\mathbb{Q}}_p$.

2相关概念

•	无理数
•	代数数
•	实数
•	数域
•	分式
•	分式域

术语翻译

有理数 • 英文 rational number • 德文 rationale Zahl (f) • 法文 nombre rationnel (m) • 拉丁文 numerus rationalis (m) • 古希腊文 ῥητὸς ἀριθμός (m)

分数 • 英文 fraction • 德文 Bruchzahl (f) • 法文 fraction (f) • 拉丁文 fractio (f) • 古希腊文 κλάσμα (n)