Gauß 整数

Gauß 整数是在整数环中添加虚数单位 $\mathrm{i}$ 得到的数. 它具有许多与整数类似的性质, 例如可以进行带余除法.

Gauß 整数环的分式域是二次域 $\mathbb{Q}(\mathrm{i})$, 且它是 $\mathbb{Q}(\mathrm{i})$ 的整数环. 一些 Gauß 整数的理论可以推广至一般二次域理论中.

1定义

定义 1.1 (Gauß 整数). Gauß 整数环是复数 $\mathbb{C}$ 中, 由整数 $\mathbb{Z}$ 和虚数单位 $\mathrm{i}$ 生成的子环, 即 $\mathbb{C}$ 的子环$$\{a+b\mathrm{i}\mid a,b\in \mathbb{Z}\},$$其中的元素称为 Gauß 整数. Gauß 整数环通常记为 $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$.

如果不利用复数, 也可以抽象的定义 Gauß 整数环.

定义 1.2 (Gauß 整数, 抽象定义). Gauß 整数环是多项式环 $\mathbb{Z}[x]$ 的商环$$\frac{\mathbb{Z}[x]}{(x^2+1)}.$$

这里的 $x$ 即对应于上面的虚数单位 $\mathrm{i}$.

2性质

Gauß 整数环是 Euclid 整环, 也就是可以在它上面定义带余除法.

命题 2.1. 在范数 $N(a+b\mathrm{i})=a^2+b^2$ 下, Gauß 整数环 $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ 是 Euclid 整环. 因此, 它是主理想整环, 也是唯一因子分解环.

既然它是主理想整环, 可以谈论它上面的素数, 即素元. 也可以考虑整数中的素数在其上如何分解. 首先可以注意到

命题 2.2 (可逆元). Gauß 整数环中可逆元仅有 $1$, $-1$, $\mathrm{i}$, $-\mathrm{i}$.

命题 2.3 (素元).

•	素数 $p$ 在 Gauß 整数环中是素元, 当且仅当 $p$ 模 $4$ 余 $3$.
•	$p$ 模 $4$ 余 $1$ 时, 存在 (在相差可逆元意义下) 唯一一对元素 $a+b\mathrm{i}$ 与 $a-b\mathrm{i}$, 使得它们是素元, 且乘积为 $p$.
•	$2=\mathrm{i}(1-\mathrm{i}{)}^2$, 且 $1-\mathrm{i}$ 为素元.
•	上面列举的素元是 $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ 中全部素元.

3相关概念

•	整数
•	二次域
•	分圆域

术语翻译

Gauß 整数 • 英文 Gaußian integer • 德文 Gaußsche Zahl • 法文 entier de Gauß