Galois 理论

Galois 理论是通过引入 Galois 群, 以使用群论研究域扩张的理论. 其主定理给出了子群子扩张的一一对应关系.

Galois 理论由 Évariste Galois 创立, 最初目的是解决多项式方程根式求解问题.

1主定理

有限情形

定理 1.1. 对有限 Galois 扩张 . 下述二映射: 以及互逆, 且建立了 子群子扩张之间的一一对应 (这里 表示 中在 的任何元素作用下均不变的元素构成的子域) . 使得

的阶为 的次数. 指数 的次数.

正规子群对应于 Galois 子扩张. 即 正规当且仅当 Galois 扩张. 同时, 商群 同构.

一般情形

定理 1.2.Galois 扩张 . 下述二映射: 以及互逆, 且建立了 闭子群子扩张之间的一一对应 (这里 表示 中在 的任何元素作用下均不变的元素构成的子域) . 使得:

开子群对应于有限扩张.

指数 的次数等势.

正规闭子群对应于 Galois 子扩张. 即 正规当且仅当 Galois 扩张. 同时, 商群 同构.

2应用

数论中, 方程求根自然引入了数域的扩张, 使得 Galois 理论在解决古典问题 (例如尺规作图, 方程求根公式等) 的同时也成为现代代数数论的基石. 这方面一个基础的结果是:

定理 2.1 (Galois). 上一元多项式方程 可根式解当且仅当 上的分裂域 的可解扩张, 即 Galois 群 可解群.

这也就是 “可解群” 这个名字的由来.

3类比

Galois 理论与覆叠空间理论具有良好的类比.

4主要问题

问题 (Galois 反问题). 对满足何种性质的射有限群, 其同构于某个 的扩张的 Galois 群?

5相关理论

代数数论

覆叠空间

术语翻译

Galois 理论英文 Galois theory德文 Galoistheorie (f)法文 théorie de Galois (f)