极小多项式

本文介绍的是域论中的概念. 关于线性代数中的同名概念, 请参见 “极小多项式 (线性代数)”.

在域论中, 对域扩张 $K\subset L$, 域 $K$ 上的代数元 $\alpha \in L$ 的极小多项式是 $K$ 上满足 $f(\alpha )=0$ 的最低次首一多项式 $f\in K[x]$. 此多项式 $f$ 可以整除任意满足 $g(\alpha )=0$ 的多项式 $g\in K[x]$.

1定义

定义 1.1 (极小多项式). 令 $K\subset L$ 为域扩张, 令 $\alpha \in L$ 为 $K$ 上的代数元. 考虑理想$$I=\{f(x)\in K[x]\mid f(\alpha )=0\}.$$因为 $K[x]$ 是主理想整环且 $I\ne 0$, 所以有唯一的首一多项式 $m_{\alpha ,K}(x)\in K[x]$ 使得 $I=(m_{\alpha ,K}(x))$. 该多项式称为 $\alpha$ 在 $K$ 上的极小多项式.

2例子

•	$\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ 在 $\mathbb{R}$ 上的极小多项式是 $m_{\mathrm{i},\mathbb{R}}(x)=x^2+1$.

•	$\sqrt{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式是 $m_{\sqrt{2},\mathbb{Q}}(x)=x^2-2$.

•	$\sqrt[3]{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式是 $m_{\sqrt[3]{2},\mathbb{Q}}(x)=x^3-2$.

3性质

基本性质

•

极小多项式不可约.

4相关概念

术语翻译

极小多项式 • 英文 minimal polynomial • 德文 Minimalpolynom (n) • 法文 polynôme minimal (m) • 古希腊文 ἐλάχιστον πολυώνυμον (n)