超越扩张

超越扩张是与代数扩张相对的概念, 指的是并非代数扩张的域扩张. 换句话说, 对于域扩张 $K/k$, 如果扩域 $K$ 中存在超越元 $\alpha \in K$, 即不存在多项式 $P(X)\in k[X]$, $P(\alpha )=0$, 那么 $K/k$ 就是一个超越扩张.

例如, 对于任意域 $k$, 一元函数域 $k(x)/k$ 就是超越扩张, $x$ 就是一个超越元; $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ 是超越扩张, $\mathrm{e}$、$\pi$ 都是超越元.

1定义

(…)

2性质

定义 2.1 (代数相关). 设 $K/k$ 是域扩张. 子集 $\mathcal{X}\subset K$ 中如果存在 $n\ge 1$ 个元素 $x_1,x_2,\dots ,x_n\in \mathcal{X}$, 使得存在非零多项式 $P\in k[X_1,\dots ,X_n]$ 满足$$P(x_1,\dots ,x_n)=0,$$就说 $\mathcal{X}$ 在 $k$ 上代数相关, 反之, 说它在 $k$ 上代数无关.

这是代数元、超越元概念的自然推广: 单元集 $\{\alpha \}$ 在 $k$ 上代数相关等价于说 $\alpha$ 是 $k$ 上的代数元.

定义 2.2 (超越基). 扩域 $K/k$ 的极大代数无关子集称为扩张 $K/k$ 的超越基.

定理 2.3 (超越基的存在性). 任意域扩张都存在超越基.

定理 2.4. 域扩张 $K/k$ 的任意两组超越基有相同的基数.

证明. (...)

$\square$

定义 2.5 (超越次数). 域扩张 $K/k$ 任一超越基的基数叫做 $K/k$ 的超越次数, 记作 $tr.deg(K/k)$.

设 $\{a_i{\}}_{i\in I}$ 是域扩张 $K/k$ 的一组超越基, 一般不一定有 $K=k(a_i{)}_{i\in I}$.

定义 2.6 (纯超越扩张). 设 $\{a_i{\}}_{i\in I}$ 是域扩张 $K/k$ 的一组超越基, 如果 $K=k(a_i{)}_{i\in I}$, 就说 $K/k$ 是纯超越扩张.

例如, $k(x)/k$ 就是超越次数为 $1$ 的纯超越扩张, $\{x\}$ 是它的一组超越基.

定理 2.7. 任意域扩张一定可以分解成两步: 先添加超越基, 再作代数扩张. 换句话说, 如果 $\{a_i{\}}_{i\in I}$ 是 $K/k$ 的超越基, 那么 $K/k(a_i{)}_{i\in I}$ 是代数扩张.

证明. 显然 $k(a_i{)}_{i\in I}$ 是 $K$ 的子域. 如果 $K$ 中存在 $k(a_i{)}_{i\in I}$ 上的超越元 $\alpha$, 那么 $\{a_i{\}}_{i\in I}\cup \{\alpha \}$ 在 $k$ 上代数无关, 这和超越基的极大性矛盾.

$\square$

定理 2.8. 如果 $\mathcal{X},\mathcal{Y}$ 是扩张 $K/k,L/K$ 的超越基, 那么 $\mathcal{X}\cup \mathcal{Y}$ 是 $L/k$ 的超越基, $$tr.deg(L/k)=tr.deg(K/k)+tr.deg(L/K).$$

术语翻译

超越扩张 • 英文 transcendental extension • 德文 transzendente Erweiterung • 法文 extension transcendante • 拉丁文 extensio transcendens • 古希腊文 ὑπερβατικὴ ἐπέκτασις

超越次数 • 英文 transcendental degree • 德文 Transzendenzgrad • 法文 degré de transcendance • 拉丁文 gradus transcendentiae • 古希腊文 ὑπερβατικὸς βαθμός

超越基 • 英文 transcendence basis • 德文 Transzendenzbasis • 法文 base de transcendance • 拉丁文 basis transcendentiae • 古希腊文 ὑπερβατικὴ βάσις