有限域

代数学中, 有限域是指由有限个元素构成的.

素数 而言, 域 是最简单的有限域, 它有 个元素. 其中的加法、乘法就是整数模 的加法、乘法.

一般而言, 所有有限域都形如 , 其中 是素数, 是正整数. 该有限域有 个元素, 可以从 通过扩域得到.

例如, 考虑域可以验证它在自然的加法、乘法下构成域. 它有 个元素, 因此这样就通过 的扩域得到了有限域 .

1定义

定义 1.1 (有限域). 有限域是含有有限个元素的域.

所有有限域都能以下面的方式给出.

定义 1.2 ( 元域).

素数 , , 称为 元域, 记作 .

对素数 及正整数 , 记 . 多项式 上的分裂域含有 个元素, 称为 元域, 记作 .

2性质

命题 2.1 (分类). 任意有限域必同构于上述 元域. 此时域的特征.

命题 2.2 (加法群与乘法群). 的加法群是 , 它的乘法群是循环群 .

命题 2.3 (包含关系). 存在有限域间的嵌入 其中 , 当且仅当 . 且此时 中具有唯一的 元子域. 由此可无歧义地谈论域扩张 .

命题 2.4 (代数闭包). 余极限 (其中 取遍正整数, 其间的箭头为取定的某个嵌入映射) 给出了 代数闭包 .

命题 2.5 (自同构). 元域 , 由 (称为 Frobenius 映射) 定义的映射 是它的自同构. 的所有自同构为 形式, 且 恒等映射.

命题 2.6 (完美性). 完美域.

命题 2.7 (Galois 群). 域扩张 Galois 群循环群 , 由上述 生成. 由此有限域的绝对 Galois 群.

注 2.8 (类比). 可以将有限域类比于圆周 , 域扩张理论相应于覆叠空间理论. 例如嵌入 对应于覆叠 , 它由 给出.

3相关概念

局部域

拟有限域

一元域

术语翻译

有限域英文 finite field德文 endlicher Körper法文 corps fini拉丁文 corpus finitum古希腊文 πεπερασμένον σῶμα