局部域

局部域是整体域在其一赋值之下的完备化.

1动机

在代数几何中, 考虑在一点处的完备化等价于在此一点处一很小邻域的性质. 在函数域类比中, 整体域被视为一条代数曲线上的有理函数域. 描述了此一曲线的整体. 局部域则相当于研究此一曲线处一点附近的性质.

一般来说, 局部较整体更易研究. 因此在代数数论中一般先研究局部域相应对象的性质再 “拼起来” 以研究整体域相应对象的性质.

2定义

定义 2.1. 一个域被称为局部域, 如果它同构于下面的某一种域:

•	$p$ 进数域 ${\mathbb{Q}}_p$ 的有限扩张.
•	有限域上有理级数域 ${\mathbb{F}}_q((t))$.
•	实数域 $\mathbb{R}$.
•	复数域 $\mathbb{C}$.

3性质

在考察局部域的性质时, 我们一般将 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 剔除, 而只验证 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 是否满足那些大定理 (例如类域论).

命题 3.1. 局部域是完备离散赋值域.

4相关概念

•	整体域
•	局部类域论

术语翻译

局部域 • 英文 local field • 德文 lokaler Körper • 法文 corps local