函数域类比

函数域类比描述了数域与代数曲线上的有理函数域的类比.

1动机

数域的整数环是 Dedekind 环, 其是一维正则环. 由此可以被视为 (光滑) 代数曲线上的正则函数环. 而数域则对应了有理函数域. 其基域可以视为 ${\mathbb{F}}_1$ 以期某种自然态射 $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})\to \mathrm{Spec}({\mathbb{F}}_1)$ 并借此使用类似的几何论证来处理数域上的问题.

2严格化

函数域类比至今仅仅是一类比, 如下一些理论试图严格而系统地解释此一类比.

3列举

下表中列举了函数域类比中多个方面. 算术曲线虽也是代数曲线的一类, 却展现出更多的与数域的相似性, 因此单独列出.

	数域理论	算术曲线理论	Riemann 面理论
整体对象	代数整数环	正则函数环	全纯函数环
	数域	有理函数域	亚纯函数域
	算术亏格	亏格	亏格
局部对象	赋值	赋值/点	点
	非 Archimedes 赋值	有限点	有限点
	Archimedes 赋值	无穷远点	无穷远点
	$p$ 进整数	${\mathbb{F}}_q[[t]]$	$\mathbb{C}[[t]]$
	局部数域	局部函数域 ${\mathbb{F}}_q((t))$	$\mathbb{C}((t))$
	$\delta$-环结构 ${\partial }_p(a)=\frac{a^p-a}{p}$	$\frac{\partial }{\partial z}$	$\frac{\partial }{\partial z}$
Langlands 纲领相关	类域论	类域论	几何类域论
	Langlands 对应 (数域)	Langlands 对应 (函数域)	几何 Langlands 对应
	Galois 群	Galois 群/平展基本群	基本群
	Galois 表示	Galois 表示	局部系统/平坦联络
	$G(K)\backslash G({\mathbb{A}}_K)/G({\mathcal{O}}_{\mathbb{A}})$	同左/模叠 ${\mathrm{Bun}}_G(X)$	模叠 ${\mathrm{Bun}}_G(X)$
	自守表示 (由上述集合上的函数构成)	自守表示/反常层	反常层 (在上述模叠上)
	Hecke 特征函数	Hecke 特征函数	Hecke 特征层
特殊函数	Dedekind $\zeta$ 函数	Weil $\zeta$ 函数	Laplace 算子的 $\zeta$ 函数

术语翻译

函数域类比 • 英文 function field analogy

4相关理论

•	绝对几何学
•	代数–几何对偶
•	Langlands 纲领