Weil ζ 函数

Weil $\mathbf{\zeta }$ 函数是对有限域上代数簇定义的 $\mathbb{C}$ 上解析函数, 以记录有限域上代数簇有理点个数的信息 (定义 1.1). 由于其无穷乘积形式 (命题 2.1) 与 Riemann $\zeta$ 函数形式相似, 故得名 $\zeta$ 函数. 它是 $\mathbb{Z}$ 上有限型概形的算术 $\zeta$ 函数的特殊情形.

Weil $\zeta$ 函数满足 Weil 猜想 (定理 2.2) 所陈述的性质. 人们在尝试证明这些性质的过程中发现了代数几何里的上同调理论, 并对其做了详尽的研究.

1定义

定义 1.1. 对有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 上代数簇 $X$, 其 Weil $\mathbf{\zeta }$ 函数为: $${\zeta }_X(s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }\frac{N_m}{m}{q}^{-ms}\right)，$$其中 $N_m$ 是 $X$ 的 ${\mathbb{F}}_{q^m}$-点的个数.

${\zeta }_X(s)$ 在 $\Re (s)>n$ 上绝对收敛, 其中 $n$ 为 $X$ 的维数. 由下述 Weil 猜想所描述的性质, 其可解析延拓至 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数.

2性质

其它形式

命题 2.1. $${\zeta }_X(s)=\prod _{x\in |X|}\frac{1}{1-N(x{)}^{-s}},$$其中 $|X|$ 表示 $X$ 的闭点集, $N(x)$ 表示点 $x$ 处剩余域的元素个数.

Weil 猜想

参见: Weil 猜想

定理 2.2. Weil $\zeta$ 函数满足如下性质:

•	(有理性) 记 $T=q^{-s}$, $Z_X(T)={\zeta }_X(q^{-s})$, 则有$$Z_X(T)=\prod _{k=0}^{2n}{P}_k(T{)}^{(-1{)}^{k+1}}.$$其中 $P_k(T)$ 均为整系数多项式, 常数项为 $1$.
•	(函数方程) 如果 $X$ 是紧合光滑簇, 则$${\zeta }_X(n-s)=\pm q^{\frac{nE}{2}-Es}{\zeta }_X(s),$$其中$$E=\sum _{k=0}^{2n}(-1{)}^k\mathrm{deg}{P}_k\in \mathbb{Z}$$称为 $X$ 的 Euler 示性数.
•	(Riemann 猜想) 如果 $X$ 是紧合光滑簇, 则多项式 $P_k$ 的根 ${\alpha }_{i,k}$ 满足 $|{\alpha }_{i,k}|=q^{-\frac{i}{2}}$, 其中 ${\alpha }_{i,k}$ 落在 $\mathbb{C}$ 中, $|\cdot |$ 表示 $\mathbb{C}$ 上通常的绝对值.
•	(Betti 数) 如果 $X$ 紧合光滑, 且来自光滑复代数簇 $\mathcal{X}$ 的好约化, 则 $\mathrm{deg}{P}_k$ 为 $\mathcal{X}$ 的第 $k$ 个 Betti 数.

3例子

例 3.1. 对射影空间 $X={\mathbb{P}}^n$, 有 $N_m=1+q^m+\cdots +q^{mn}$. 从而$${\zeta }_X(s)=\prod _{k=0}^n(1-q^{k-s}{)}^{-1}.$$

例 3.2. 对椭圆曲线 (...)

4相关概念

•	Riemann $\zeta$ 函数
•	算术 $\zeta$ 函数
•	Weil 猜想

术语翻译

Weil $\zeta$ 函数 • 英文 Weil $\zeta$ function • 德文 Weil-$\zeta$-Funktion • 法文 fonction $\zeta$ de Weil