Weil 猜想

约定. 在本文中,

• ${\mathbb{F}}_q$ 表示 $q$ 元有限域, $\mathbb{F}$ 是选定的代数闭包.

Weil 猜想是 André Weil 在 [Wei49] 中作出关于 ${\mathbb{F}}_q$ 上代数簇零点生成函数的假设, Weil 猜测光滑簇上的这类 $\zeta$ 函数是有理函数, 满足特定的函数方程, 并且零点落在特定的直线上.

1背景和历史

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2陈述

定义 2.1. 对有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 上代数簇 $X$, 其 Weil $\mathbf{\zeta }$ 函数为: $${\zeta }_X(s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }\frac{N_m}{m}{q}^{-ms}\right)，$$其中 $N_m$ 是 $X$ 的 ${\mathbb{F}}_{q^m}$-点的个数.

假设 $X$ 是 ${\mathbb{F}}_q$ 上的 $n$-维紧合光滑簇, Weil 猜测:

定理 2.2.

•	(有理性) ${\zeta }_X(s)$ 是关于 $T=q^{-s}$ 的有理函数, 令 $Z_X(T)={\zeta }_X(q^{-s})$, 则有$$Z_X(T)=\prod _{k=0}^{2n}{P}_k(T{)}^{(-1{)}^{k+1}}.$$其中 $P_k(T)$ 均为整系数多项式, 常数项为 $1$. 特别地, 有 $P_0(T)=1-T$, $P_{2n}(T)=1-q^{n}T$. 记多项式 $P_k$ 的根为 ${\alpha }_{i,k}$
•	(函数方程) $\zeta$ 函数满足关系$${\zeta }_X(n-s)=\pm q^{\frac{nE}{2}-Es}{\zeta }_X(s),$$等价地, 有$$Z_X(q^{-n}{T}^{-1})=\pm q^{\frac{nE}{2}}{T}^E{Z}_X(T).$$特别地, 对每个 $k$, ${\alpha }_{1,k},{\alpha }_{2,k},\cdots$ 和 $\frac{q^n}{{\alpha }_{1,2n-k}},\frac{q^n}{{\alpha }_{2,2n-k}},\cdots$ 在不计顺序下相同. 其中$$E=\sum _{k=0}^{2n}(-1{)}^k\mathrm{deg}{P}_k\in \mathbb{Z}$$称为 $X$ 的 Euler 示性数.
•	(Riemann 猜想) $P_k$ 的根满足 $|{\alpha }_{i,k}|=q^{-\frac{i}{2}}$, 其中 ${\alpha }_{i,k}$ 落在 $\mathbb{C}$ 中, $|\cdot |$ 表示 $\mathbb{C}$ 上通常的绝对值.
•	(Betti 数) 如果 $X$ 来自光滑复代数簇 $\mathcal{X}$ 的好约化, 则 $\mathrm{deg}{P}_k$ 为 $\mathcal{X}$ 的第 $k$ 个 Betti 数.

3例子

例 3.1. $X={\mathbb{P}}^n$ 是 $n$ 维射影空间, 有 $N_m=1+q^m+q^{2m}+\cdots +q^{nm}$. 从而$${\zeta }_X(s)=Z_X(T)=\frac{1}{(1-T)(1-qT)\cdots (1-q^{n}T)},$$有 $P_{2k}$ 的根模长为 $q^{-k}$. 对于复射影空间 ${\mathbb{CP}}^n$, 我们有 $b_{2i}=1=\mathrm{deg}{P}_{2k}$.

一个非平凡的例子是椭圆曲线.

例 3.2. $X$ 是 ${\mathbb{F}}_q$ 上椭圆曲线, 此时 $n=1=\dim X$. 令 $a_q=1-N_1+q$, 则 $1-a_{q}T+q{T}^2=0$ 有两个共轭复根 $\alpha ,\beta$, 由 Vieta 定理 $\alpha \beta =q^{-1}$, 因此 $|\alpha |=|\beta |=q^{-\frac{1}{2}}$. 由 Lefschetz 不动点定理$$N_m=1-{\alpha }^m-{\beta }^m+q^m.$$此时$$Z_X(T)=\frac{(1-\alpha T)(1-\beta T)}{(1-T)(1-qT)}.$$椭圆曲线可以视作复环面的约化, 而复环面 $\mathbb{C}/\Lambda$ 的 Betti 数分别为 $1,2,1$.

4证明

Grothendieck 的证明

1964 年 Grothendieck, Michael Artin 和 Jean-Louis Verdier (以及 Dwork 1960 年的工作) 证明了除去 Riemann 猜想的部分.

定理 4.1. 设 $\bar{X}=(X{)}_F$, $\bar{X}$ 上有几何 Frobenius 态射 $\mathrm{Frob}$ 的作用, 则有$$Z_X(T)=\prod _{k=0}^{2n}\det (1-t\mathrm{Frob}|H^k(\bar{X},{\mathbb{Q}}_{\ell }){)}^{(-1{)}^{k+1}},$$其中 $H^k(\bar{X},{\mathbb{Q}}_{\ell })$ 是平展上同调群.

有下面命题就能得到 $Z_X(T)$ 的有理性,

命题 4.2. $K/k$ 是域扩张, 有 $K(t)\cap k[[t]]=k(t)$.

$\zeta$ 函数的函数方程和 Betti 数分别来源于 Poincaré 对偶和比较定理.

Deligne 对 Riemann 猜想的证明

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5应用

6相关概念

•	平展上同调
•	Lefschetz 不动点定理
•	代数闭链标准猜想

参考文献

[Del71]	Deligne, P. (1971). Formes modulaires et représentations l-adiques. Berlin, New York: Springer-Verlag.
[Del74]	Deligne, P. (1974). La conjecture de Weil. I. Publications Mathématiques de l’IHÉS.
[Dwo60]	Dwork, B. (1960). On the rationality of the zeta function of an algebraic variety. American Journal of Mathematics.
[Gro60]	Grothendieck, A. (1960). The cohomology theory of abstract algebraic varieties. Cambridge University Press.
[Gro65]	Grothendieck, A. (1965). Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L. Paris: Société Mathématique de France.
[Wei49]	Weil, A. (1949). Numbers of solutions of equations in finite fields. Bulletin of the American Mathematical Society.

术语翻译

Weil 猜想 • 英文 Weil conjectures • 法文 Conjectures de Weil