局部类域论

局部类域论旨在刻画局部域的 Abel 扩张, 主流的陈述方式是建立局部域 $K$ 的有限 Abel 扩张与 $K^{\times }$ 的有限指数开子群之间的一一对应, 此对应由下述局部互反映射与存在性定理给出.

1定理陈述

局部互反映射

定理 1.1 (局部互反律). 对 Galois 扩张 $L/K$, 我们有自然的同构$${\varphi }_{L/K}:K^{\times }/\mathrm{Nm}{L}^{\times }\to \mathrm{Gal}(L/K{)}^{\text{ab}}.$$其中 ${\varphi }_{L/K}$ 被称作局部互反映射, 或局部 Artin 映射; 也常被称为范数剩余符号, 记作 $a\mapsto (a,L/K)$.

其中自然性意谓与域扩张塔的交互, 具体而言, 对局部域的代数扩张 $N\supset L\supset K\supset F$, 其中 $N/K$ 为 Galois 扩张, $K/F$ 为可分扩张, 我们有如下的交换图表

(a)$$K^{\times }\mathrm{Gal}(N/K{)}^{\text{ab}}{K}^{\times }\mathrm{Gal}(L/K{)}^{\text{ab}}{\varphi }_{N/K}\mathrm{i}\mathrm{d}\pi {\varphi }_{L/K}$$这里 $L/K$ 是正规扩张, $\pi$ 由典范的投影映射诱导.

(b)$$K^{\times }\mathrm{Gal}(N/K{)}^{\text{ab}}{L}^{\times }\mathrm{Gal}(L/K{)}^{\text{ab}}{\varphi }_{N/K}\mathrm{incl}\mathrm{Ver}{\varphi }_{L/K}$$其中 $\mathrm{Ver}$ 为转移映射.

(c)$$L^{\times }\mathrm{Gal}(N/L{)}^{\text{ab}}{K}^{\times }\mathrm{Gal}(L/K{)}^{\text{ab}}{\varphi }_{N/L}\mathrm{Nm}\kappa {\varphi }_{L/K}$$其中 $\kappa$ 由典范的嵌入映射诱导.

(d)$$K^{\times }\mathrm{Gal}(N/K{)}^{\text{ab}}\sigma K^{\times }\mathrm{Gal}(\sigma N/\sigma K{)}^{\text{ab}}{\varphi }_{N/K}\sigma {\sigma }^{\ast }{\varphi }_{\sigma N/\sigma K}$$其中 $\sigma \in \mathrm{Gal}(F^{\text{sep}}/F)$.

推论 1.2. 对局部域 $K$, 称形如 $\mathrm{Nm}(L^{\times })$ 的子群为范数群. 则 $L\mapsto \mathrm{Nm}{L}^{\times }$ 为 Abel 扩张与范数群之间的反序同构.

推论 1.3. 范数群构成了 $K^{\times }$ 上一个拓扑在 $1$ 处的邻域基, 此拓扑称为范数拓扑.

根据 (a), 我们可以定义极限映射 (万有范数符号)$$K^{\times }\mathrm{Gal}(K^{\text{ab}}/K)\simeq \mathrm{Gal}(K^{\text{sep}}/K{)}^{\text{ab}}.{\varphi }_K$$

推论 1.4. 我们有拓扑群的同构$$\widehat{K^{\times }}\mathrm{Gal}(K^{\text{ab}}/K).{\varphi }_K$$前者表示 $K^{\times }$ 在范数拓扑下的完备化.

命题 1.5. 对 $K$ 的任何素元 $\pi$, $${\varphi }_K(\pi ){|}_{K^{\text{un}}}={\mathrm{Frob}}_K.$$

命题 1.6 (唯一性). 若有群同态 $\varphi :K^{\times }\to \mathrm{Gal}(K^{\text{ab}}/K)$ 适合

1.	$\varphi (\pi ){|}_{K^{\text{un}}}={\mathrm{Frob}}_K$,
2.	对任何 Abel 扩张 $L$, $\varphi {|}_L$ 诱导出同构$$K^{\times }/\mathrm{Nm}{L}^{\times }\simeq \mathrm{Gal}(L/K).$$

则 $\varphi ={\varphi }_K$.

存在性定理

定理 1.7. $K^{\times }$ 中的范数群恰为全体有限指数开子群.

注 1.8. 假设 $K$ 是 $p$ 进数域, 则有限指数子群总是开的. 这是因为有限指数子群将含有 $K^{\times m}$, $m>0$. 而对充分大的 $n$ 我们有同构. $$U^{(n)}\simeq {\mathfrak{p}}^n$$且右边中的元素除以 $m$ 也被素元的高幂次整除. 因此 $U^{(n)}\subset K^{\times m}$.

对函数域, 我们有 $1+\mathfrak{p}\simeq {\prod }_{\mathbb{N}}{\mathbb{Z}}_p$. 这穿过 ${\prod }_{\mathbb{N}}{\mathbb{F}}_p$, 根据线性代数我们知道存在 ${\prod }_{\mathbb{N}}{\mathbb{F}}_p$ 的有限指数真子群包含 ${⨁}_{\mathbb{N}}{\mathbb{F}}_p$, 因此存在有限指数的子群并非开子群.

推论 1.9. 范数拓扑是 Hausdorff 的.

2证明

可以加上使用中心单代数的证明

互反映射

存在映射$${\mathrm{inv}}_K:H^2(K^{\text{sep}}/K)\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\simeq$$对于任何有限 Galois 扩张 $L/K$, 都有$${\mathrm{inv}}_K:H^2(L/K)\frac{1}{[L:K]}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}.\simeq$$根据 Tate 定理, 对任何 $r\in \mathbb{Z}$ 有同构$$H_T^r(G,\mathbb{Z})\simeq H_T^{r+2}(G,L^{\times }).$$取 $r=-2$, 即有$$G^{ab}\simeq K^{\times }/\mathrm{N}\mathrm{m}{L}^{\times }.$$其逆即为局部 Artin 映射.

存在性定理

参见: Lubin–Tate 理论

Lubin–Tate 理论具体地构造了足够多的 Abel 扩张, 以此证明存在性定理.

3推论

Weil 群

定义 3.1. 对局部域 $K$, 其 Weil 群 $W_K$ 为拓扑群范畴中的拉回$$W_K{\mathrm{Frob}}^{\mathbb{Z}}\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}/K)\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{n}\mathrm{r}}/K)$$其中 ${\mathrm{Frob}}^{\mathbb{Z}}$ 赋予离散拓扑.

定理 3.2. 存在拓扑群的同构$$r_K:K^{\times }{W}_K^{\mathrm{a}\mathrm{b}}\simeq .$$

局部朗兰兹对应将此推广到两边的高维表示.

对 $L/K$ 为有限 Galois 扩张, 则 $W_L\subseteq W_K$, 且 $W_K/W_L\simeq \mathrm{Gal}(L/K)$. 相对 Weil 群为 $W_{L/K}:=W_K/W_L^c$. 我们有正合列$$1L^{\times }{W}_{L/K}\mathrm{Gal}(L/K)1$$这个群扩张对应于 $H^2(L/K)$ 中的基本类 $u_{L/K}$.

(...)

4推广

介绍一下局部 Langlands 纲领和高维类域论

用 Fargues–Fontaine 曲线的证明及相关发展也值得介绍

5参考文献

使用群上同调语言和 Lubin–Tate 理论的证明可以参见

[CF67]

J. W. S. Cassels, A. Frohlich (1967). Algebraic Number Theory. Academic Press.

术语翻译

局部类域论 • 英文 local class field theory • 德文 lokale Klassenkörpertheorie • 法文 théorie des corps de classes locaux