群上同调

群上同调是对群赋予的 Abel 群不变量, 以反映 (结构可能复杂) 的群的性质.

引言需补充……

1定义

•	以下约定 $G$ 是群, $M$ 是 $\mathbb{Z}[G]$-模, 这等价于 $G$-模, 即带有 $G$-作用的 Abel 群.

定义 1.1 ($G$-不动点). $M$ 中 $\mathbf{G}$-不动点为 $M^G=\{m\in M\mid gm=m,\text{ 对任意 }g\in G\}$. $M\mapsto M^G$ 给出了 $\mathbb{Z}[G]$-模范畴到 Abel 群范畴的左正合函子, 因为它等价于函子 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},-)$ (其中 $\mathbb{Z}$ 赋予平凡 $G$ 作用).

定义 1.2 (群上同调). 群 $\mathbf{G}$ 的 $\mathbf{M}$-系数的上同调为 $M$ 在上述 $G$-不动点函子 $(-{)}^G$ 的导出函子下的像. 如此, 它的 $r$ 阶上同调群是$$H^r(G,M)={\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}[G]}^n(\mathbb{Z},M).$$

注 1.3. 在 $\infty$-范畴的语言中, $M$ 可以视为 Abel 群的导出 $\infty$-范畴 $\mathcal{D}(\mathbb{Z})$ 中的对象, 带有 $G$-作用. 此时群上同调即是在 $\mathcal{D}(\mathbb{Z})$ 中, $M$ 的同伦 $G$-不动点 $M^{hG}$.

在一些理论中会用到下面的群上同调理论, 把群上同调和群同调拼起来, 称为 Tate 上同调.

定义 1.4 (Tate 上同调). 对有限群 $G$ 和 $G$-模 $M$, Tate 上同调 ${\hat{H}}^0(G,M)$ 是下述映射的余核: $$M\to M^G,m\mapsto \sum _{g\in G}gm.$$对正整数 $k$, Tate 上同调 ${\hat{H}}^k(G,M)$ 定义为上同调本身 $H^k(G,M)$. 对负整数 $k$, 它则基本上是群同调.

2性质

具体计算

假设 $P_r$ 是由所有 $r+1$-元组 $(g_0,\cdots ,g_r)$ (其中 $g_i\in G$) 生成的自由 $\mathbb{Z}$-模. $P_r$ 可以赋予 $G$-模结构, 其上的 $G$-作用是$$g\cdot (g_0,\cdots ,g_r)=(g\cdot g_0,\cdots ,g\cdot g_r).$$从 $P_r$ 到 $P_{r-1}$ 有线性算子 $d_r:P_r\to P_{r-1}$, 在其基上满足:$$d_r(g_0,\cdots ,g_r)=\sum _{i=0}^r(-1{)}^i(\cdots ,{\hat{g}}_i,\cdots ).$$其中 $\hat{\cdot }$ 表示从 $r+1$-元组去掉一个元素变为 $r$-元组.

命题 2.1. $P_{\bullet }\to \mathbb{Z}$ 是 ${\mathsf{Mod}}_G$ 里的投射消解.

命题 2.2. $H^r(G,M)\simeq H^r({\mathrm{Hom}}_G(P_{\bullet },M))$ (右边的上同调群指的是链上同调).

注 2.3. 事实上, 这是范畴 ${\mathsf{Mod}}_G$ 中 ${\mathrm{Ext}}_G^r(\mathbb{Z},M)$ 的两种等价描述方式.

为了描述 ${\mathrm{Hom}}_G(P_{\bullet },M)$, 需要引入杠消解.

对于 $G$-同态 $P_r\to M$, 它完全由映射 $\phi :G^{r+1}\to M$ 决定. 由于 $\phi$ 与 $G$- 作用相容, 即 $g\cdot \phi (g_0,\cdots ,g_r)=\phi (g{g}_0,\cdots g{g}_{r+1})$, 因此 $\phi$ 完全由 $(1,g_1,g_1{g}_2,\cdots ,g_1\cdots g_r)$ 决定.

定义 2.4 (非齐次 $r$-上链). 令 $C^r(G,M)=\{\text{所有 }\phi :G^r\to M\}$, 规定 $G^0=\{1\}$ 则有 $C^0(G,M)=M$. 定义$$d^r:C^r(G,M)\to C^{r+1}(G,M).$$映射由 $(d^r\phi )(g_1,\cdots ,g_{r+1})=$ $$g_1\phi (g_2,\cdots ,g_{r+1})+\sum _{j=1}^r(-1{)}^j\phi (g_1,\cdots ,g_j{g}_{j+1},\cdots ,g_{r+1})+(-1{)}^{r+1}\phi (g_1,\cdots ,g_r)$$给出.

命题 2.5. $C^0(G,M)\to C^1(G,M)\to \cdots$ 是上链复形, 并且有典范同构$$H^r(G,M)\simeq \mathrm{Ker}(d^r)/\mathrm{Im}(d^{r-1}).$$

上同调函子间的态射

对映射 $G^{\prime }\to G$ 以及 $G$-模 $M$, 我们有函子$$f^{\ast }:{\mathsf{Mod}}_G\to {\mathsf{Mod}}_{G^{\prime }},M\to M{|}_{G^{\prime }}.$$这是正合函子, 因此 $H^i(G^{\prime },f^{\ast })$ 为上同调 $\delta$ 函子. 根据导出函子的万有性我们有自然的态射$$H^i(G,M)\to H^i(G^{\prime },M)$$延拓了 $M^G\hookrightarrow M^{G^{\prime }}$.

若 $M^{\prime }$ 为 $G^{\prime }$-模, 则 ${\mathsf{Mod}}_{G^{\prime }}$ 中的同态 $M\to M^{\prime }$ 将诱导出上同调群之间的映射 $H^i(G,M)\to H^i(G^{\prime },M^{\prime })$, $$H^i(G,M)\to H^i(G^{\prime },M)\to H^i(G^{\prime },M^{\prime }).$$

定义 2.6 (限制映射). 对映射 $H\to G$, 存在 $\delta$ 函子的态射 $H^{\bullet }(G,-)\to H^{\bullet }(H,-)$, 在 $0$ 次部分为$$M^G\hookrightarrow M^H,$$称为限制映射.

定义 2.7 (转移映射). 如 $H$ 是 $G$ 的有限指数子群, 存在 $\delta$ 函子间的态射 $H^{\bullet }(H,-)\to H^{\bullet }(G,-)$, 在 $0$ 次部分为$$M^H\to M^G,m\mapsto \sum _{g\in G/H}gm,$$称为转移映射或余限制映射.

定义 2.8 (膨胀映射). 对 $G$ 的正规子群 $H$, 存在自然变换 $H^{\bullet }(G/H,(-{)}^H)\to H^{\bullet }(G,-)$, 在 $0$ 次部分为恒等映射$$(M^H{)}^{G/H}=M^G,$$称为膨胀映射.

注 2.9. 以上这些构造在群同调理论中也有类似版本, 且二者是相容的.

命题 2.10 (Hochschild–Serre 谱序列). 设 $H$ 为 $G$ 的正规子群, 则存在第一象限谱序列$$E_2^{p,q}=H^p(G/H,H^q(H,M))\Rightarrow H^{p+q}(G,M).$$

推论 2.11 (膨胀-限制正合列). 对正整数 $r$, 若对 $0<j<r$, $H^j(H,M)=0$ (当 $r=1$ 时此为空条件), 则有正合列$$0H^r(G/H,M^H)H^r(G,M)H^r(H,M)\mathrm{Inf}\mathrm{Res}.$$

幺半结构

(...)

3例子

低阶上同调

命题 3.1.

•	$H^0(G,M)=M^G$.
•	$G$ 在 $M$ 上平凡作用时, $H^1(G,M)$ 是群同态 $\mathrm{Hom}(G,M)$.

循环群上同调

命题 3.2. 当 $G$ 是有限循环群时, 存在如下消解: ($g$ 是 $G$ 的生成元)

由此可以计算有限循环群上同调为

命题 3.3. $${\hat{H}}^k(G,M)=\{\begin{array}{cc}{\hat{H}}^0(G,M)& k\text{为偶数}\\ {\hat{H}}_0(G,M)& k\text{为奇数}.\end{array}$$

Galois 上同调

上同调群反映了群的性质, 在数论中经常上同调研究 Galois 群的性质.

命题 3.4 (Hilbert 定理 90). 设 $L/K$ 是有限 Galois 扩张, 用 $G$ 表示 Galois 群. 则有 $L^{\times }$ 和 $L$ 都是 $G$-模, 并且 $H^1(G,L^{\times })=0$ 以及 $H^r(G,L)=0$ 对任意 $r>0$.

命题 3.5. $K$ 是局部域, $L/K$ 是有限 Galois 扩张且 $G$ 是 Galois 群. 有 $H^2(G,L^{\times })$ 是 $[L:K]$ 阶循环群.

通过以上两个命题以及 Tate 定理可以得到局部域的互反映射.

上面的都是有限 Galois 扩张, 对于无穷 Galois 扩张, 上述上同调对于 Galois 群的刻画并不好. 事实上, 我们可以对一般的射有限群定义由连续上链决定的上同调群, 通过这种方法对 Galois 群的研究也就是一般的 Galois 上同调理论.

与拓扑上同调的联系

命题 3.6. 设 $BG$ 是群 $G$ (赋予离散拓扑成为拓扑群) 的分类空间. 那么有$$H^k(G,\mathbb{Z})=H^k(BG,\mathbb{Z}).$$

例如 $n$ 个文字的自由群 $\mathbb{Z}\ast \cdots \ast \mathbb{Z}$, 可以通过考虑圆束 ${\mathbb{S}}^1\vee \cdots \vee {\mathbb{S}}^1$ 的上同调群计算. 则有

命题 3.7. $$H^k({\mathbb{Z}}^{\ast n})=H^k(({\mathbb{S}}^1{)}^{\vee n})\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}& k=0\\ {\mathbb{Z}}^{\oplus n}& k=1\\ 0& k>1.\end{array}$$

4历史注记

1936 年, Hurewicz 证明了对于一类特殊的空间 (大于一阶的同伦群都为 $0$), 它的同调群由基本群完全决定. 因此, 想要直接对基本群定义同调群, 来反映整个空间的同调性质. 1942 年, Eilenberg 和 Mac Lane 使用纯代数的方法定义了群的同调和上同调.

5相关概念

•	层上同调
•	群同调
•	Tate 上同调
•	同伦不动点

术语翻译

群上同调 • 英文 group cohomology • 德文 Gruppenkohomologie • 法文 cohomologie des groupes • 拉丁文 cohomologia catervarum • 古希腊文 συνομολογία ὁμαδῶν