杠消解

杠消解是 $\mathbb{Z}$ 作为 $\mathbb{Z}[G]$-模 ($\mathbb{Z}$ 作为平凡 $G$-模) 的一个自由消解.

设 $EG$ 是以 $G$ 为对象集且每两个对象之间恰有一个态射的范畴. 类比于万有 $G$-主丛的全空间, $EG$ 的脉是一个可缩的单纯集, 因此它对应的复形构成一个消解 (见 Dold–Kan 对应). “杠” 消解的名称来源于记号 $g[g_1|g_2|\cdots |g_n]$, 表示 $EG$ 的 $n$-单形 $[g,g{g}_1,g{g}_1{g}_2,\cdots ,g{g}_1{g}_2\cdots g_n]$.

1定义

对于群

定义 1.1 (杠消解). 设 $G$ 为群. 关于 $G$ 的杠消解是如下 $\mathbb{Z}[G]$-模序列, $$\cdots \to F_2\stackrel{d}{\to }{F}_1\stackrel{d}{\to }{F}_0\stackrel{ϵ}{\to }\mathbb{Z}\to 0,$$(1)其中 $F_n$ 是所有符号 $[g_1|g_2|\cdots |g_n]$ ($g_1,\cdots ,g_n\in G$) 生成的自由 $\mathbb{Z}[G]$-模, $F_0$ 是一个符号 $[]$ 生成的自由左 $\mathbb{Z}[G]$-模, $ϵ:F_0\to \mathbb{Z}$ 将 $[]$ 映射到 $1$, 边界同态 $d:F_n\to F_{n-1}$ 由下式定义, $d={\sum }_{i=0}^n(-1{)}^i{d}_i$, $$d_i([g_1|g_2|\cdots |g_n])=\{\begin{array}{ll}{g}_1[g_2|\cdots |g_n]& i=0\\ [g_1|\cdots |g_i{g}_{i+1}|\cdots |g_n]& 1<i<n\\ [g_1|\cdots |g_{n-1}]& i=n\end{array}.$$例如

•	$d:F_1\to F_0$ 的定义为 $d([g])=g[]-[]$;
•	$d:F_2\to F_1$ 的定义为 $d([g|h])=g[h]-[gh]+[g]$;
•	$d:F_3\to F_2$ 的定义为 $d([f|g|h])=f[g|h]-[fg|h]+[f|gh]-[f|g]$.

对于单子

定义 1.2. 设 $(T,\mu ,\epsilon )$ 是范畴 $\mathsf{C}$ 上的单子.

(...)

2性质

定理 2.1. (1) 是正合列.

证明. 我们只需证明 (1) 作为 Abel 群复形正合.

考虑 Abel 群同态 $\{s_n{\}}_{n\ge -1}$, 其中 $s_{-1}:\mathbb{Z}\to F_0,1\mapsto []$, 对 $n\ge 0$, $$s_n:F_n\to F_{n+1},g[g_1|\cdots |g_n]\mapsto [g|g_1|\cdots |g_n].$$可直接验证 $ϵs_{-1}=1$, $d{s}_n+s_{n-1}d=1(n\ge 0)$, 即 $\{s_n{\}}_{n\ge -1}$ 给出了 (1) 作为 Abel 群复形的收缩.

$\square$

3相关概念

•	消解
•	脉
•	群上同调