Tate 论题

Tate 论题指 John Tate 于 1950 年在普林斯顿大学完成的博士论文, 由 Emil Artin 指导. 文中 Tate 将 Hecke $L$ 函数写成理元群上的积分, 以此研究其性质; 他用抽象调和分析中的 Poisson 求和公式证明了 Hecke $L$ 函数的函数方程, 对其作解析延拓, 并确定其极点. Tate 论题可视为对 Erich Hecke 自己的函数方程证明的有力重写.

1论题

局部理论

设 $k$ 是局部域, Tate 指出 $\zeta$ 积分 $Z(f,\chi ,s)$ (具体定义见 1.1) 在加法群的 Fourier 变换下具有对称性, 见 1.4.

另外, $L$ 因子 $L(\chi ,s)$ 也可视作 $Z(f,\chi ,s)$ 的 “公因子”, 因此给了定义一般 $L$ 因子的方法.

记号

下面我们固定这些记号. 对 $k=\mathbb{R}$ 我们规定:

记号.

•	$|\cdot |$ 为绝对值;
•	$\psi (x)=e^{-2\pi ix}$ 为标准加法特征;
•	$dx$ 为通常 Lebesgue 测度;
•	$d^{\ast }x=dx/|x|$ 为乘法群上 Haar 测度.
•	$S(k)$ 为 Schwartz 函数空间.

对 $k=\mathbb{C}$ 我们规定:

记号.

•	$|x|=x\bar{x}$ 为通常模长的平方;
•	$\psi (x)e^{-2\pi i(x+\bar{x})}$ 为加法特征;
•	$dx$ 为通常 Lebesgue 测度的两倍;
•	$S(k)$ 为 Schwartz 函数空间.

对 $k$ 为 $k_0={\mathbb{Q}}_p$ 的有限扩张或者 $k_0={\mathbb{F}}_q((t))$ 的可分有限扩张时:

记号.

•	$\mathfrak{o}$ 为 $k$ 的整数环;
•	$\mathfrak{p}$ 为 $\mathfrak{o}$ 的极大理想;
•	$\varpi \in \mathfrak{p}$ 为生成元;
•	$\mathfrak{d}$ 为 $k$ 的判别式;
•	$|x|=N(\mathfrak{p}{)}^{-\mathrm{ord}(x)}$;
•	$\psi (x)=e^{2\pi i\lambda {\mathrm{Tr}}_{k/k_0}(x)}$ 为加法特征;
•	$dx$ 为满足 ${\int }_{\mathfrak{o}}dx=N(\mathfrak{d}{)}^{-1/2}$ 的 Haar 测度;
•	$d^{\times }x=\frac{N\mathfrak{p}}{N\mathfrak{p}-1}dx/|x|$;
•	$S(k)$ 为 $k$ 上紧支局部常值函数空间.

结论

定义 1.1. 令 $k$ 是局部域, $f\in S(k)$, $\chi :k^{\times }\to U(1)$ 是乘法群的酉特征, $s$ 是一复数. 定义$$Z(f,\chi ,s)={\int }_{k^{\times }}f(x)\chi (x)|x{|}^s{d}^{\times }x.$$

注意我们并不要求 $f(0)=0$, 因此上面积分并不是在紧集上积分, 故需要考虑收敛性.

引理 1.2. 当 $f\in S(k)$ 时, $Z(f,\chi ,s)$ 在半平面 $\mathrm{Re}s>0$ 的任意紧集上一致可积.

上面引理基本可通过下面例子看出, 此例子表明 Hecke $L$ 因子可以写为 $\zeta$ 积分.

例子 1.3. 假设 $k$ 非 Achimedes 局部域, 若 $\chi$ 是非分歧特征, 即在 ${\mathcal{O}}^{\times }$ 上平凡. 则我们有$$Z(1_{\mathcal{O}},\chi ,s)=\frac{N(\mathfrak{d}{)}^{-\frac{1}{2}}}{1-\chi (\varpi )N(\mathfrak{p}{)}^{-s}}.$$否则$$Z(1_{\mathcal{O}},\chi ,s)=0;$$

证明. 按定义, $$\begin{gathered} Z(1_{\mathcal{O}},\chi ,s)={\int }_{\mathcal{O}-\{0\}}\chi (a)|a{|}^s{d}^{\times }a \\ =\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_{{\varpi }^n{\mathcal{O}}^{\times }}\chi (a)|a{|}^s{d}^{\times }a. \end{gathered}$$由于 $d^{\times }a$ 是乘法群上 Haar 测度, 因此$$\begin{gathered} {\int }_{{\varpi }^n{\mathcal{O}}^{\times }}\chi (a)|a{|}^s{d}^{\times }a={\int }_{{\mathcal{O}}^{\times }}\chi ({\varpi }^{n}a)|{\varpi }^{n}a{|}^s{d}^{\times }a \\ =(\chi (\varpi )N(\mathfrak{p}{)}^{-s}{)}^n{\int }_{{\mathcal{O}}^{\times }}\chi (a)d^{\times }a. \end{gathered}$$而 ${\int }_{{\mathcal{O}}^{\times }}{d}^{\times }a=N(\mathfrak{d}{)}^{-\frac{1}{2}}$, 见 4.1. 因此由 Schur 引理知命题成立.

$\square$

定理 1.4. 存在与 $f$ 无关的因子 $\gamma (\chi ,s)$ 使得 $1>\mathrm{Re}s>0$ 时$$Z(f,\chi ,s)=\gamma (\chi ,s)Z(\hat{f},{\chi }^{-1},1-s).$$这里$$\hat{f}(\xi )={\int }_{k}f(x)\psi (x\xi )dx.$$

•	当 $k$ 为实数域时, $\chi =1$ 或者 $\mathrm{sgn}$, 我们有$$\gamma (1,s)=2^{1-s}{\pi }^{-s}\cos (\frac{\pi s}{2})\Gamma (s),\gamma (\mathrm{sgn},s)=i{2}^{1-s}{\pi }^{-s}\sin (\frac{\pi s}{2})\Gamma (s);$$
•	当 $k$ 为复数域时, $\chi ={\chi }_n$, ${\chi }_n(r{e}^{i\theta })=e^{in\theta }$, 我们有$$\gamma ({\chi }_n,s)=i^{|n|}\frac{(2\pi {)}^{1-s}\Gamma (s+\frac{|n|}{2})}{(2\pi {)}^s\Gamma (1-s+\frac{|n|}{2})};$$
•	当 $k$ 非 Archimedes 时, 不妨设 $\chi (\varpi )=1$, 若 $\chi$ 非分歧, 则 $\chi$ 平凡, 我们有$$\gamma (1,s)=(N\mathfrak{d}{)}^{s-\frac{1}{2}}\frac{1-(N\mathfrak{p}{)}^{s-1}}{1-(N\mathfrak{p}{)}^{-s}};$$若 $\chi$ 分歧, 令 ${\mathfrak{f}}_{\chi }$ 为 $\chi$ 的导子, 我们有$$\gamma (\chi ,s)=(N\mathfrak{d}{)}^{s-\frac{1}{2}}(N{\mathfrak{f}}_{\chi }{)}^{s-1}\sum _{x\in {\mathfrak{o}}^{\times }/1+{\mathfrak{f}}_{\chi }}\chi (-x)\psi (\frac{x}{{\varpi }^{\mathrm{ord}(\mathfrak{d}{\mathfrak{f}}_{\chi })}}).$$

注 1.5. $\hat{f}$ 实际上是 Fourier 变换, 且 $\hat{f}\in S(k)$, 因为对任意非平凡加法群的特征 $\psi$, $\xi \mapsto \psi (\cdot \xi )$ 给出了同构 $k\cong \hat{k}$.

整体化

令 $K$ 是整体域, Tate 指出理元群上的积分 $Z(f,\chi ,s)$ 在加元环的 Fourier 变换下具有对称性. 而当我们将 $f$ 取为局部的测试函数的乘积时, 就能得到 Hecke $L$ 函数的函数方程.

记号

记号.

•	令 $|K|$ 表示 $K$ 的所有赋值的等价类;
•	对任意 $v\in |K|$, $K_v$ 是 $K$ 对于赋值 $v$ 的完备化;
•	局部上的记号都同局部理论, 不过在此用下标 $v$ 加以区别;
•	${\mathbb{A}}_K$ 为加元环;
•	${\mathbb{I}}_K$ 为理元群;
•	对任意 $(a_v{)}_v\in I_K$, 令 $|a|=|a_v{|}_v$;
•	$dx={\prod }_v^{\prime }d{x}_v$ 为 ${\mathbb{A}}_K$ 上限制乘积测度;
•	$d^{\times }a={\prod }_v^{\prime }{d}^{\times }{a}_v$ 为 ${\mathbb{I}}_K$ 上限制乘积测度. 此时需要验证 ${\int }_{{{\mathfrak{o}}_{\mathfrak{v}}}^{\times }}{d}^{\times }{a}_v=1$ 对几乎所有 $v$ 成立, 证明见 4.1;
•	令 $\psi ((x_v{)}_v)={\prod }_v\psi (x_v)$, 此时 $\psi$ 是 ${\mathbb{A}}_K$ 上连续特征.

结论

这里我们需要加元环上 Fourier 变换.

定义 1.6. $S({\mathbb{A}}_K)$ 为 ${\mathbb{A}}_K$ 上形如 ${⨂}_v{f}_v$ 的函数的线性组合, 其中 $⨂f_v((x_v{)}_v)={\prod }_v{f}_v(x_v)$, $f_v\in S(k_v)$, 且对几乎所有 $v<\infty$, $f_v=1_{{\mathcal{O}}_v}$.

命题 1.7. 令 $f\in S({\mathbb{A}}_K)$, 则$$\hat{f}(\xi )={\int }_{{\mathbb{A}}_K}f(x)\overline{\psi (\xi x)}dx\in S({\mathbb{A}}_K),$$且若 $f={⨂}_v{f}_v$, 则 $\hat{f}={⨂}_v\widehat{f_v}$.

定义 1.8. 令 $\chi :{\mathbb{I}}_K\to U(1)$ 是 ${\mathbb{I}}_K$ 上酉特征, 且在 $K^{\times }$ 上平凡. $f\in S({\mathbb{A}}_K)$, $s\in \mathbb{C}$. 定义$$Z(f,\chi ,s)={\int }_{{\mathbb{I}}_K}f(a)\chi (a)|a{|}^s{d}^{\times }a.$$

命题 1.9.

2推广尝试

观察 1.3 我们不难发现以下命题:

命题 2.1. 对非 Achimedes 局部域 $k$ 和乘法特征 $\chi$, 我们规定 $L(\chi ,s)=\frac{1}{1-\chi (\varpi )N(\mathfrak{p}{)}^{-s}}$ 若 $\chi$ 非分歧. 否则令 $L(\chi ,s)=1$. 则$$\{Z(f,\chi ,s);f\in S(k)\}=L(\chi ,s)\mathbb{C}[N(\mathfrak{p}{)}^s,N(\mathfrak{p}{)}^{-s}].$$

3相关概念

•	加元环
•	理元群
•	Hecke $L$ 函数
•	类域论
•	抽象调和分析

4证明

引理 4.1. 设 $k$ 是非 Archimedes 局部域, 则$${\int }_{{\mathfrak{o}}^{\times }}{d}^{\times }a=N(\mathfrak{d}{)}^{-\frac{1}{2}}.$$

术语翻译

Tate 论题 • 英文 Tate’s thesis