Hecke L 函数

Hecke $\mathbf{L}$ 函数是 Dirichlet $L$ 函数的推广, 它关心比 Dirichlet 特征更加一般的 Hecke 特征.

1定义

定义 1.1. 给一个 Hecke 特征 $\chi :{\mathbb{I}}_K/K^{\times }\to U(1)$, 假设导子是 ${\mathfrak{f}}_{\chi }$. 定义 $\chi$ 的 Hecke $L$ 函数为$$L(\chi ,s)=\prod _{\mathfrak{p}\nmid {\mathfrak{f}}_{\chi }}\frac{1}{1-\chi (\mathfrak{p})N(\mathfrak{p}{)}^{-s}}.$$这里 $\chi (\mathfrak{p})$ 定义成 $\chi ({\pi }_{\mathfrak{p}})$, 它是良定的, 因为 $\mathfrak{p}\nmid {\mathfrak{f}}_{\chi }$.

注 1.2. 当我们取 $K=\mathbb{Q}$, Hecke 特征为如下的自然同态$$\pi :{\mathbb{I}}_{\mathbb{Q}}/{\mathbb{Q}}^{\times }\twoheadrightarrow \left({\mathbb{R}}_{>0}\prod _p(1+p^{v_p(m)})\right)\backslash {\mathbb{I}}_{\mathbb{Q}}/{\mathbb{Q}}^{\times }\cong {\left(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\right)}^{\times }$$与 Dirichlet 特征$$\chi :{\left(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\right)}^{\times }\to U(1)$$的复合, 则给出的 Hecke $L$ 函数就是 Dirichlet $L$ 函数$$L(\chi ,s)=\prod _p\frac{1}{1-\chi (p)p^{-s}}.$$

注 1.3. 如果取 $\chi$ 是平凡特征, 那么 Hecke $L$ 函数是 Dedekind $\zeta$ 函数 ${\zeta }_K(s)$.

2性质

解析延拓与函数方程

取定 Hecke 特征 $\chi$, 以及标准的加性特征 ${\psi }_{\mathfrak{p}}:K_{\mathfrak{p}}\to U(1)$.

记号. 我们记:

•	对于 $v\mid \infty$, 记$$n_v=\{\begin{array}{ll}1,& K_v=\mathbb{R};\\ 2,& K_v=\mathbb{C},\end{array}$$记 ${\phi }_v,m_v$ 满足: $${\chi }_v(x)={\left(\frac{x}{|x|}\right)}^{m_v}|x{|}^{i{n}_v{\phi }_v}.$$
•	取 Hecke $L$ 函数的完备化为$$\Lambda (\chi ,s)=(|{\Delta }_{K/\mathbb{Q}}|N({\mathfrak{f}}_{\chi }){)}^{\frac{s}{2}}\prod _{v\mid \mathbb{R}}{\Gamma }_{\mathbb{R}}\left(|m_v|+i{\phi }_v\right)\prod _{v\mid \mathbb{C}}{\Gamma }_{\mathbb{C}}\left(\frac{|m_v|}{2}+i{\phi }_v\right)L(\chi ,s).$$
•	取 $M={\sum }_{v\mid \infty }|m_v|$.
•	取 Gauß 和$${\tau }_{\mathfrak{p}}(\chi )=\sum _{u\in {\mathcal{O}}_{K_{\mathfrak{p}}}^{\times }/1+{\mathfrak{f}}_{\chi ,\mathfrak{p}}}({\psi }_{\mathfrak{p}}{\chi }_{\mathfrak{p}})(u/{\varpi }_{\mathfrak{p}}^{{\mathrm{val}}_{\mathfrak{p}}({\mathfrak{d}}_{\chi })}).$$
•	取常数$$W(\chi )=i^{-M}N({\mathfrak{f}}_{\chi }{)}^{-\frac{1}{2}}\prod _{\mathfrak{p}\mid {\mathfrak{f}}_{\chi }}{\tau }_{\mathfrak{p}}(\chi )\prod _{\mathfrak{p}\nmid {\mathfrak{f}}_{\chi }}\chi ({\mathfrak{d}}_{K/\mathbb{Q},\mathfrak{p}}^{-1}).$$

Hecke 最早证明了如下结果:

定理 2.1. 对于 Hecke 特征 $\chi$, 设它的共轭为 $\overline{\chi }$, 则 $\Lambda$ 可以延拓为 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数, 并有函数方程$$\Lambda (\chi ,s)=W(\chi )\Lambda (\overline{\chi },1-s).$$

1950 年 Tate 受到 Dedekind $\zeta$ 函数的函数方程证明的启发, 发展了一套 “理元群上 Fourier 分析” 的办法 (Tate 论题), 从而简洁地证明了 Hecke $L$ 函数的函数方程. 详见:

主条目: Tate 论题

零点与极点

受到 Riemann $\zeta$ 函数中关于零点性质的启发, 我们有如下关于零点的定理:

定理 2.2. 对于任一 Hecke 特征 $\chi$, 有$$L(\chi ,1+it)\ne 0,\forall t\in \mathbb{R}.$$

证明也几乎完全类似于 ${\zeta }_{\mathbb{Q}}(s)$ 时的情况.

3应用

Dirichlet 定理

素数定理

4相关概念

•	Artin $L$ 函数
•	自守 $L$ 函数
•	类域论
•	Langlands 纲领

术语翻译

Hecke $L$ 函数 • 英文 Hecke $L$-function • 法文 fonction $L$ de Hecke