商群

商群指将群中某些元素合并为一个元素, 而得到较小群的操作.

1定义

命题 1.1. 对群 $G$ 的正规子群 $H$ , 左陪集之集 $G / H$ 与右陪集之集 $H \ G$ 相同, 并带有自然的群结构.

证明. 因为

H

是正规子群, 所以对任何

g \in G

, 有

g H = H g

. 集合

G / H

上的群结构定义为

(g_{1} H) \cdot (g_{2} H) = {g_{1} h_{1} g_{2} h_{2} ∣ h_{1}, h_{2} \in H} = g_{1} g_{2} H,

其单位元为

H

, 元素

g H

的逆元为

g^{- 1} H

.

$□$

定义 1.2. 以上构造的群 $G / H$ 称为 $G$ 对 $H$ 的商群.

注 1.3. 等价地, 商群是群范畴中的商对象.

命题 2.1. 对群 $G$ 以及其正规子群 $H$ , 有自然的满同态 $G ↠ G / H, g \mapsto g H .$

•	群 $G$ 对自身的商 $G / G$ 是平凡群, 这说明平凡群是任意群的商群.
•	群 $G$ 对平凡群的商群 $G / {1}$ 与其自身同构.
•	对整数 $n \neq = 0$ , 商群 $Z / n Z$ 是 $n$ 阶循环群.

术语翻译

商群 • 英文 quotient group • 德文 Faktorgruppe; Quotientengruppe (f) • 法文 quotient de groupe (m)