陪集

陪集描述一个群对它的某个子群的 “商” (1.1).

1定义

定义 1.1. 对群 $G$ 与其子群 $H$ , 下述二者为等价关系

•	$g_1{\sim }_{\ell }{g}_2$ , 如存在 $h\in H$ 使 $g_{1}h=g_2$.
•	$g_1{\sim }_r{g}_2$ , 如存在 $h\in H$ 使 $h{g}_1=g_2$.

由第一个等价关系定义的集合称为左陪集, 记为 $G/H$, 则 $g$ 所在的等价类为 $gH$, 即$$\{gh\mid h\in H\}.$$由第二个等价关系定义的集合称为右陪集, 记为 $H\backslash G$, 则 $g$ 所在的等价类记作 $Hg$, 即$$\{hg\mid h\in H\}.$$

2性质

命题 2.1. $G/H$ 与 $H\backslash G$ 有自然双射, 由 $gH\mapsto H{g}^{-1}$ 给出.

定义 2.2. $G/H$ (或 $H\backslash G$) 的势称为 $H$ 在 $G$ 中的指数.

命题 2.3. 如 $G$ 为有限群, $$|G/H|=|H\backslash G|=\frac{|G|}{|H|}.$$其中 $|\cdot |$ 表示一个集合的基数.

证明. $G/H$ 与 $H\backslash G$ 中每个等价类均含有 $|H|$ 个元素. 这些等价类的并为 $G$, 则共有 $|G|/|H|$ 个等价类, 即 $G/H$ 与 $H\backslash G$ 均有 $|G|/|H|$ 个元素.

$\square$

推论 2.4 (Lagrange). 对有限群的任意子群 $H$, $H$ 的元素个数整除 $G$ 的元素个数.

命题 2.5. 对群 $G$ 的正规子群 $H$, 左陪集 $G/H$ 与右陪集 $H\backslash G$ 二者具有同构的群结构.

证明. 群结构由

•	乘法 $(g_{1}H)\cdot (g_{2}H)=g_1{g}_{2}H\in G/H$, $(H{g}_1)\cdot (H{g}_2)=H{g}_1{g}_2\in H\backslash G$.
•	单位元 $eH\in G/H$, $He\in H\backslash G$.
•	逆元 $(gH{)}^{-1}=g^{-1}H\in G/H$, $(Hg{)}^{-1}=H{g}^{-1}\in H\backslash G$

分别给出. 同构由 $gH\mapsto Hg$ 给出.

$\square$

定义 2.6. 对上述 $G,H$, $G/H$ 和 $H\backslash G$ 统称为商群, 记为 $G/H$.

3例子

•	如 $H=G$, 则左陪集 $G/H$ 与右陪集 $H\backslash G$ 均为单点集.
•	如 $H$ 为平凡群, 则左陪集 $G/H$ 与右陪集 $H\backslash G$ 均与 $G$ 有自然双射.

4相关概念

•	指数 (群论)
•	子群
•	商群
•	双陪集

术语翻译

陪集 • 英文 coset • 德文 Nebenklasse (f) • 法文 classe (suivant un sous-groupe) (f)